Encontre a área do cone dado pela parametrização r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), u), onde 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície paramétrica definida por
r(u,v) = l(ucos(v),,usin(v),,ur),
com 0<= u<=1 e 0<= v<=2pi. Para superfícies paramétricas, usamos a fórmula da área
Área=integral duplaDl|rutimes rvr|,du,dv, Á
onde ru e rv são as derivadas parciais de r.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
ru(u,v)=l(cos v,;sin v,;1r),
rv(u,v)=l(-usin v,;ucos v,;0r)

Passo 3

Formar o produto vetorial
ru times rv = i & j & k cos v & sin v & 1 -,usin v & ucos v & 0 =l(-ucos v,,-usin v,;u(cos^2v+sin^2v)r) =l(-ucos v,,-usin v,;ur)

Passo 4

Calcular a magnitude:
l|rutimes rvr| =raiz(-ucos v)^2+(-usin v)^2+u^2 =raizu^2(cos^2v+sin^2v)+u^2 =raiz2,u^2 =uraiz2

Passo 5

Integrar sobre o domínio:
Área =integralv=0^2pi!integralu=0^1uraiz2;du,dv =raiz2(integral0^1u,du)(integral0^2pidv) =raiz2cdot12cdot2pi =piraiz2 Á

Resposta

piraiz2

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