Calcular integral duplaS1 F d S, onde F(x, y, z)=(-x, y, z) e S1 é o cone, parametrizado pela função varphi:[0,1] times[0,2 pi] R^3 dada por varphi(u, v)=(u cos (v), u sen(v), u).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=(-x,y,z) através da superfície S1, que é o cone lateral parametrizado por
varphi(u,v) = l(ucos v,;usin v,;ur), (u,v)in[0,1]times[0,2pi]
O conteúdo aqui é integral de superfície de um campo vetorial: precisamos calcular F(varphi(u,v)), o vetor normal varphiutimesvarphiv e então fazer
integral duplaS1Fcdot dS =integral0^2piintegral0^1F(varphi(u,v))cdotl(varphiutimesvarphivr),du,dv

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de varphi:
varphiu = l(cos v,;sin v,;1r), varphiv = l(-usin v,;ucos v,;0r)
Fazendo o produto vetorial,
varphiutimesvarphiv = i & j & k cos v & sin v & 1 -,usin v & ucos v & 0 = l(-ucos v,;-,usin v,;ur)

Passo 3

Em seguida avaliamos F sobre varphi(u,v):
F(varphi(u,v)) =l(-ucos v,;usin v,;ur)
O produto escalar fica
F(varphi(u,v))cdotl(varphiutimesvarphivr) =(-ucos v)(-ucos v)+(usin v)(-usin v)+(u)(u) =2,u^2cos^2 v

Passo 4

Finalmente integramos em u e v:
integral duplaS1Fcdot dS =integral0^2piintegral0^12,u^2cos^2 v,du,dv = integral0^2pil[tfrac2u^33r]0^1cos^2 v,dv =tfrac23integral0^2picos^2 v,dv =tfrac23,pi =2pi3

Resposta

integral duplaS1F,dS=2pi3

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