Use o Teorema de Stokes para calcular integralc F d S, onde F(x, y, z)=(y^2, z^2, x^2) e c é a fronteira do plano x+y+z=1 no primeiro octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralcFcdot dr
onde F(x,y,z)=(y^2,z^2,x^2) e c é a curva fechada que é a fronteira do triângulo S dado por x+y+z=1 no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário.
O método será usar o Teorema de Stokes, que diz
integralcFcdot dr ;=;integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS

Passo 2

Calcular o rotacional de F. Tomando
F=(P,Q,R) com P=y^2, Q=z^2, R=x^2, temos
nablatimesF =l(partialy R-partialz Q,;partialz P-partialx R,;partialx Q-partialy Pr)
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nablatimesF =l(0-2z,;0-2x,;0-2yr) =(-2z,,-2x,,-2y)

Passo 3

Parametrizamos a superfície S por
r(x,y)=l(x,;y,;1-x-yr),
com domínio planar D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1. Calculamos
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-1),
e o vetor normal orientado segundo a regra da mão direita é
rxtimesry =(1,1,1)

Passo 4

Em r(x,y) temos z=1-x-y, de modo que
nablatimesF(r(x,y)) =(-2(1-x-y),-2x,-2y).
O produto escalar com rxtimesry
(nablatimesF)cdot(rxtimesry) =-2(1-x-y)-2x-2y=-2
Portanto, a integral de superfície é
integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS =integral duplaD(-2),dx,dy =-2cdotArea(D) =-2cdot12 =-1

Resposta

-1

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