Calcule area de todas os pontos (x, y) in R^2 tal que 4 x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano dada pela desigualdade
4x^2+y^2<=4
Isso é uma elipse centrada na origem. O conteúdo aqui é reconhecer a forma canônica da elipse e usar a fórmula da área de uma elipse, que é
A=pi,a,b,
onde a e b são os semi-eixos.

Passo 2

Para passar para a forma canônica, dividimos toda a desigualdade por 4:
4x^24+y^24<=1 Longrightarrow x^2+y^24<=1

Passo 3

Da forma
x^21^2+y^22^2<=1
vemos que os semi-eixos são
a=1 (no eixo (x)), b=2 (no eixo (y))

Passo 4

Aplicando a fórmula da área da elipse,
A=pi,a,b=picdot1cdot2=2pi

Resposta

A área da região é 2pi.

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