Calcular
integralegral duplaD(x^2+2y) dA, onde D é limitada por y=x, y=x^3, x <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD (x^2 + 2y) dA , onde a região D é delimitada pelas curvas y = x , y = x^3 e x <= 0 . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e regiões de integração. Para isso, vamos precisar entender bem como essas curvas se comportam e como configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região D . Temos y = x e y = x^3 . Como estamos considerando apenas x <= 0 , vamos nos concentrar nessa parte das curvas.
A curva y = x é uma reta que passa pela origem, inclinada a 45 graus. Já y = x^3 é uma curva cúbica que também passa pela origem, mas mais “achatada” perto dela e cresce mais devagar que a reta y = x . Para x <= 0 , y = x fica abaixo do eixo x e y = x^3 fica acima do eixo x.

Passo 3

Vamos identificar os pontos de interseção entre y = x e y = x^3 . Igualando as duas equações:
x = x^3 implies x^3 - x = 0 implies x(x^2 - 1) = 0 implies x = 0 ou x = pm1
Como estamos considerando x <= 0 , os pontos de interseção relevantes são x = 0 e x = -1 .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra na região D . Para x <= 0 :
  • Se x = -0.5 , então y = x = -0.5 e y = x^3 = -0.125 .
  • Aqui, y = x está abaixo de y = x^3 .
Portanto, na nossa região D , y varia de y = x (inferior) a y = x^3 (superior), e x varia de x = -1 a x = 0 .

Passo 5

Vamos então configurar a integral dupla. Como y varia entre x e x^3 e x varia de -1 a 0 , a integral fica:
integralx=-1^0 integraly=x^y=x^3 (x^2 + 2y) dy , dx

Passo 6

Primeiro, vamos integrar em relação a y :
integraly=x^y=x^3 (x^2 + 2y) dy = [ x^2y + y^2 ]y=x^y=x^3 = x^2(x^3) + (x^3)^2 - ( x^2(x) + x^2 ) = x^5 + x^6 - x^3 - x^2

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de -1 a 0 :
integral-1^0 ( x^5 + x^6 - x^3 - x^2 ) dx = [ x^66 + x^77 - x^44 - x^33 ]-1^0

Passo 8

Calculando nos limites:
Para x = 0 :
0^66 + 0^77 - 0^44 - 0^33 = 0
Para x = -1 :
(-1)^66 + (-1)^77 - (-1)^44 - (-1)^33 = 16 - 17 - 14 + 13
Calculando:
16 - 17 - 14 + 13 = ( 1484 - 1284 - 2184 + 2884 ) = 984 = 328

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é 328 .

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