Calcular
, onde
é limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas curvas
,
e
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e regiões de integração. Para isso, vamos precisar entender bem como essas curvas se comportam e como configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região
. Temos
e
. Como estamos considerando apenas
, vamos nos concentrar nessa parte das curvas.
A curva
é uma reta que passa pela origem, inclinada a 45 graus. Já
é uma curva cúbica que também passa pela origem, mas mais “achatada” perto dela e cresce mais devagar que a reta
. Para
,
fica abaixo do eixo x e
fica acima do eixo x.
Passo 3
Vamos identificar os pontos de interseção entre
e
. Igualando as duas equações:
Como estamos considerando
, os pontos de interseção relevantes são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra na região
. Para
:
- Se
, então e . - Aqui,
está abaixo de .
Portanto, na nossa região
,
varia de
(inferior) a
(superior), e
varia de
a
.
Passo 5
Vamos então configurar a integral dupla. Como
varia entre
e
e
varia de
a
, a integral fica:
Passo 6
Primeiro, vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Passo 8
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Calculando:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é
.