L=lim n infty an=lim n infty n^4n^3-2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo que envolve o cálculo de um limite. A gente tem que encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito da expressão $ \frac{n{4}}{n{3} - 2n} $. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções polinomiais no infinito e comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma expressão do tipo $ \frac{P(n)}{Q(n)} $, onde $ P(n) $ e $ Q(n) $ são polinômios, o comportamento do limite quando $ n $ vai para o infinito depende dos graus desses polinômios.

Passo 3

Agora, vamos identificar os graus dos polinômios no numerador e no denominador da nossa expressão:
  • No numerador, temos $ n^{4} $, que é um polinômio de grau 4.
  • No denominador, temos $ n^{3} - 2n $. O termo de maior grau é $ n^{3} $, então o denominador é um polinômio de grau 3.

Passo 4

Quando comparamos os graus dos polinômios:
  • Se o grau do numerador é maior que o grau do denominador, o limite tende ao infinito.
  • Se o grau do numerador é menor, o limite tende a zero.
  • Se os graus forem iguais, o limite será a razão dos coeficientes principais.
No nosso caso, o grau do numerador (4) é maior que o grau do denominador (3).

Passo 5

Portanto, seguindo essa regra, sabemos que quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite da expressão tende ao infinito. Isso porque o numerador cresce muito mais rápido que o denominador conforme $ n $ aumenta.

Resposta

O limite $ L = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n{4}}{n{3} - 2n} $ tende ao infinito, ou seja, $ L = +\infty $.

Exercícios relacionados