Calcular
, onde
é o triângulo no plano
cujos vértices são os pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é um triângulo no plano
com vértices em
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e como definir os limites de integração para uma região triangular. Vamos precisar entender como configurar esses limites para integrar a função
sobre essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o triângulo para visualizar a região
. Os vértices são
,
e
. Isso forma um triângulo com a base no eixo
de
a
e uma altura que vai até
quando
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Para isso, escolhemos integrar primeiro em
e depois em
. Observando a região
, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até a linha que conecta
a
, que é a reta
. Então, os limites de integração ficam:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
. Como
não depende de
, podemos tratar isso como uma constante durante a integração em
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar
em relação a
:
Avaliando de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral é
.