Calcular
integralegral duplaR sin xx dA, onde R é o triângulo no plano xy cujos vértices são os pontos (0,0),(1,0),(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR sin xx , dA, onde R é um triângulo no plano xy com vértices em (0,0), (1,0) e (1,2). Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e como definir os limites de integração para uma região triangular. Vamos precisar entender como configurar esses limites para integrar a função sin xx sobre essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo para visualizar a região R. Os vértices são (0,0), (1,0) e (1,2). Isso forma um triângulo com a base no eixo x de x=0 a x=1 e uma altura que vai até y=2 quando x=1.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Para isso, escolhemos integrar primeiro em y e depois em x. Observando a região R, para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até a linha que conecta (0,0) a (1,2), que é a reta y=2x. Então, os limites de integração ficam:
integralx=0^1 integraly=0^2x sin xx , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a y. Como sin xx não depende de y, podemos tratar isso como uma constante durante a integração em y:
integraly=0^2x sin xx , dy = sin xx cdot (2x - 0) = 2 sin x

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralx=0^1 2 sin x , dx
Vamos integrar 2 sin x em relação a x:
2 integral sin x , dx = -2 cos x + C
Avaliando de 0 a 1:
-2 cos(1) + 2 cos(0) = -2 cos(1) + 2(1) = 2(1 - cos 1)

Resposta

O valor da integral é 2 (1 - cos 1).

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