Calcular integralegral triplaT raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z, onde T é a região delimitada por x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaT raizx^2+y^2+z^2;dx,dy,dz,
onde T é a região no espaço entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4. O conteúdo necessário é a mudança para coordenadas esféricas e o uso do jacobiano adequado.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinphicostheta, y = rsinphisintheta, z = rcosphi,
onde r>=0, phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. O elemento de volume é
dx,dy,dz = r^2sinphi;dr,dphi,dtheta
Além disso, a função integrando fica raizx^2+y^2+z^2=r.

Passo 3

Substituindo no integrando, a integral tripla fica
integral triplaT r;dx,dy,dz = integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralr=1^2 rcdot r^2sinphi;dr,dphi,dtheta = integral0^2pi!!!dtheta;integral0^pi!!sinphi,dphi;integral1^2 r^3,dr

Passo 4

Calculamos primeiro as integrais angulares:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2
Multiplicando, obtemos o fator angular 2picdot2=4pi.

Passo 5

Agora a integral radial:
integral1^2 r^3,dr = [r^44]1^2 = 2^44-1^44 = 16-14 = 154

Passo 6

Multiplicando o fator angular pelo resultado radial:
4pi times 154 = 15pi

Resposta

15pi

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