Calcule as integrais duplas nas regiões indicadas:
integral duplaR x^2 raiz9-y^2 d A; R é a região limitada pela circunferência x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x^2raiz9-y^2;dA
sendo R o disco definido por x^2+y^2<=9. Vamos usar integração iterada em coordenadas cartesianas, aproveitando a simetria da região em x.

Passo 2

Primeiro descrevemos R por
-3 <= y <= 3, -raiz9-y^2<= x<= raiz9-y^2
Logo
integral duplaR x^2raiz9-y^2;dA =integraly=-3^3!integralx=-raiz9-y^2^raiz9-y^2 x^2raiz9-y^2;dx,dy

Passo 3

No interior, raiz9-y^2 é constante em x, então
integral-raiz9-y^2^raiz9-y^2 x^2raiz9-y^2;dx =raiz9-y^2integral-a^ax^2,dx,
com a=raiz9-y^2. E sabemos que
integral-a^ax^2,dx=2a^33
Logo o integral interno vira
raiz9-y^2cdot2l(raiz9-y^2r)^33 =23(9-y^2)^2

Passo 4

Substituindo no integral duplo, temos
integral duplaRx^2raiz9-y^2,dA =23integral-3^3(9-y^2)^2,dy
Observe que o integrando é função par, então
integral-3^3(9-y^2)^2dy =2integral0^3(9-y^2)^2dy =2integral0^3l(81-18y^2+y^4r)dy

Passo 5

Calculando termo a termo em [0,3]:
integral0^381,dy=243, integral0^318y^2,dy=18cdot3^33=162, integral0^3y^4,dy=3^55=2435
Então
2integral0^3(81-18y^2+y^4)dy =2l(243-162+2435r) =2l(81+2435r) =2cdot6485 =12965

Passo 6

Voltando ao fator tfrac23:
integral duplaRx^2raiz9-y^2,dA =23cdot12965 =259215 =8645

Resposta

8645

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