Deduza que dim x^nn!=0 para todo x.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, para todo xinR, a sequência
an = x^nn!
satisfaz
limntoinftyan = 0
O conteúdo aqui é limites de sequências e usaremos o critério da razão (ou de Cauchy) para sequências.

Passo 2

Calculemos o quociente entre termos consecutivos:
gl|an+1angr| = l|x^,n+1/(n+1)!r|l|x^n/n!r| = |x|n+1
Note que
limntoinfty|x|n+1 = 0
Em particular, existe N tal que, para todo n>= N,
l|an+1/anr|<r com algum r<1.

Passo 3

Pelo critério da razão, se a partir de certo índice n vale
l|an+1/anr|<r<1, então anto0. Portanto concluímos
limntoinftyx^nn!=0

Resposta

limntoinftyx^nn! = 0

Exercícios relacionados