Calcule o resíduo Resz=0 f, onde
f(z)=z^-3 sumn=1^infty(-1)^n+1 z^nn^2, |z|<1

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de análise complexa! A gente precisa calcular o resíduo da função f(z) no ponto z = 0 . O resíduo é basicamente o coeficiente da parte 1z na expansão em série de Laurent da função em torno desse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e análise de resíduos. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que a gente tem:
f(z) = z^-3 sumn=1^infty (-1)^n+1 z^nn^2, |z| < 1
Aqui, f(z) é um produto de z^-3 com uma série infinita. Nosso objetivo é encontrar o resíduo em z = 0 , ou seja, o coeficiente de 1z na série de Laurent de f(z) .

Passo 3

Vamos simplificar f(z) multiplicando z^-3 pela série:
f(z) = z^-3 sumn=1^infty (-1)^n+1 z^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^n+1 z^n-3n^2
Agora, a série está na forma sum an z^n-3 .

Passo 4

Para encontrar o resíduo em z = 0 , precisamos identificar o coeficiente de z^-1 nessa série. Ou seja, queremos que n - 3 = -1 .
Vamos resolver essa equação para n :
n - 3 = -1 implies n = 2
Isso significa que apenas o termo com n = 2 vai contribuir para o resíduo.

Passo 5

Vamos substituir n = 2 na expressão da série:
(-1)^2+1 z^2-32^2 = (-1)^3 z^-14 = -14 z^-1
Aqui, o coeficiente de z^-1 é -14 .

Resposta

O resíduo de f(z) em z = 0 é -14 .

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