Calcule o resíduo
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de análise complexa! A gente precisa calcular o resíduo da função
no ponto
. O resíduo é basicamente o coeficiente da parte
na expansão em série de Laurent da função em torno desse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e análise de resíduos. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que a gente tem:
Aqui,
é um produto de
com uma série infinita. Nosso objetivo é encontrar o resíduo em
, ou seja, o coeficiente de
na série de Laurent de
.
Passo 3
Vamos simplificar
multiplicando
pela série:
Agora, a série está na forma
.
Passo 4
Para encontrar o resíduo em
, precisamos identificar o coeficiente de
nessa série. Ou seja, queremos que
.
Vamos resolver essa equação para
:
Isso significa que apenas o termo com
vai contribuir para o resíduo.
Passo 5
Vamos substituir
na expressão da série:
Aqui, o coeficiente de
é
.
Resposta
O resíduo de
em
é
.