Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de contorno no plano complexo:
O conteúdo aqui é de Cálculo Complexo, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para integrar funções complexas ao redor de um caminho fechado, que nesse caso é o círculo de raio 4 no plano complexo. Vamos precisar identificar as singularidades das funções dentro desse círculo e calcular seus resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira parte da integral: .
Aqui, a função tem uma singularidade em devido ao termo no denominador. Como estamos integrando sobre , precisamos verificar se essa singularidade está dentro do círculo. Como , ela está dentro.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte: .
A função é inteira, ou seja, não tem singularidades. A singularidade vem de , que está em . Precisamos ver se está dentro do nosso caminho de integração. Como , essa singularidade também está dentro do círculo.
Passo 4
Agora que identificamos as singularidades dentro de , vamos aplicar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
Precisamos calcular os resíduos de cada parte da função integranda nas singularidades identificadas.
Para em :
Essa é uma singularidade de ordem 3. O resíduo para uma singularidade de ordem é dado por:
Calculando as derivadas:
ddz e^z = e^z, d^2dz^2 e^z = e^z
Então,
Resz=0 e^zz^3 = 12 e^0 = 12
Para sen z(z - pi)^3 em z = pi:
Também é uma singularidade de ordem 3. O resíduo é: