Calcule a integral
integral|z|=4(e^zz^3-sen z(z-pi)^3) d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de contorno no plano complexo:
integral|z|=4(e^zz^3 - sen z(z-pi)^3) dz
O conteúdo aqui é de Cálculo Complexo, especificamente usando o Teorema dos Resíduos para integrar funções complexas ao redor de um caminho fechado, que nesse caso é o círculo de raio 4 no plano complexo. Vamos precisar identificar as singularidades das funções dentro desse círculo e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira parte da integral: e^zz^3.
Aqui, a função tem uma singularidade em z = 0 devido ao termo z^3 no denominador. Como estamos integrando sobre |z| = 4, precisamos verificar se essa singularidade está dentro do círculo. Como |0| = 0 < 4, ela está dentro.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte: sen z(z - pi)^3.
A função sen z é inteira, ou seja, não tem singularidades. A singularidade vem de (z - pi)^3, que está em z = pi. Precisamos ver se z = pi está dentro do nosso caminho de integração. Como |pi| approx 3.14 < 4, essa singularidade também está dentro do círculo.

Passo 4

Agora que identificamos as singularidades dentro de |z| = 4, vamos aplicar o Teorema dos Resíduos, que nos diz que:
integralC f(z) dz = 2pi i sum Resíduos de f dentro de C í
Precisamos calcular os resíduos de cada parte da função integranda nas singularidades identificadas.
Para e^zz^3 em z = 0:
Essa é uma singularidade de ordem 3. O resíduo para uma singularidade de ordem n é dado por:
Resz=0 e^zz^3 = 12! cdot d^2dz^2 (e^z) |z=0
Calculando as derivadas:
ddz e^z = e^z, d^2dz^2 e^z = e^z
Então,
Resz=0 e^zz^3 = 12 e^0 = 12
Para sen z(z - pi)^3 em z = pi:
Também é uma singularidade de ordem 3. O resíduo é:
Resz=pi sen z(z - pi)^3 = 12! cdot d^2dz^2 (sen z) |z=pi
Calculando as derivadas:
ddz sen z = cos z, d^2dz^2 sen z = -sen z
Então,
Resz=pi sen z(z - pi)^3 = 12 (-sen pi) = 12 cdot 0 = 0

Resposta

Somando os resíduos, temos:
integral|z|=4(e^zz^3 - sen z(z-pi)^3) dz = 2pi i (12 + 0) = pi i
A resposta final é pi i.

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