Calcular integral duplaD(x-y) d x d y onde D é o semi-circulo x^2+y^2 <= 1, x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular integral duplaD (x - y) , dx , dy, onde D é um semicírculo definido por x^2 + y^2 <= 1 e x >= 0. Isso envolve conceitos de cálculo em coordenadas cartesianas e mudança para coordenadas polares pode facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. O semicírculo x^2 + y^2 <= 1 com x >= 0 é metade do círculo de raio 1 centrado na origem, do lado direito do eixo y. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta.

Passo 3

Em coordenadas polares, a área diferencial dx , dy se transforma em r , dr , dtheta. Então, a integral fica:
integral duplaD (x - y) , dx , dy = integraltheta = -pi2^pi2 integralr=0^1 (rcostheta - rsintheta) cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
(rcostheta - rsintheta) cdot r = r^2costheta - r^2sintheta
Então, a integral fica:
integral-pi2^pi2 integral0^1 (r^2costheta - r^2sintheta) , dr , dtheta

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
integral-pi2^pi2 costheta ( integral0^1 r^2 , dr ) dtheta - integral-pi2^pi2 sintheta ( integral0^1 r^2 , dr ) dtheta
Calculando a integral em r:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13

Passo 6

Substituindo esse resultado de volta na integral:
13 integral-pi2^pi2 costheta , dtheta - 13 integral-pi2^pi2 sintheta , dtheta

Passo 7

Calculando as integrais em theta:
Para costheta:
integral-pi2^pi2 costheta , dtheta = [ sintheta ]-pi2^pi2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2
Para sintheta:
integral-pi2^pi2 sintheta , dtheta = [ -costheta ]-pi2^pi2 = -cos(pi2) + cos(-pi2) = -0 + 0 = 0

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão:
13 cdot 2 - 13 cdot 0 = 23

Resposta

O valor da integral dupla é 23.

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