Calcular
onde
é o semi-circulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular
, onde
é um semicírculo definido por
e
. Isso envolve conceitos de cálculo em coordenadas cartesianas e mudança para coordenadas polares pode facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O semicírculo
com
é metade do círculo de raio 1 centrado na origem, do lado direito do eixo y. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, a área diferencial
se transforma em
. Então, a integral fica:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando a integral em
:
Passo 6
Substituindo esse resultado de volta na integral:
Passo 7
Calculando as integrais em
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
O valor da integral dupla é
.