Calcule a integral de linha
, onde
e
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede pra calcular
, onde o campo vetorial é
e a curva
é definida por
para
. Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e integração de campos vetoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
nos dá a posição na curva
para cada valor de
entre 0 e 1. Para calcular a integral de linha, precisamos expressar
em termos de
usando
. Então, substituímos
e
em
por
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
A integral de linha
pode ser reescrita como uma integral de
de 0 a 1 do produto escalar de
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Para integrar
, fazemos uma substituição:
Seja , então
. A integral se torna:
Seja
Passo 9
Para integrar
, usamos a regra de potência:
Passo 10
Agora, juntando as integrais:
Passo 11
Vamos avaliar de 0 a 1:
Para :
Para
Para
:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Resposta
A integral de linha é igual a
.