Calcule a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y)=e^x-1 i+x y j e C é dada por r(t)=t^2 i+t^3 j, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede pra calcular integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y) = e^x-1 i + x y j e a curva C é definida por r(t) = t^2 i + t^3 j para 0 <= t <= 1. Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e integração de campos vetoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que r(t) nos dá a posição na curva C para cada valor de t entre 0 e 1. Para calcular a integral de linha, precisamos expressar F em termos de t usando r(t). Então, substituímos x e y em F(x, y) por t^2 e t^3, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular F(r(t)):
F(r(t)) = F(t^2, t^3) = e^t^2 - 1 i + t^2 cdot t^3 j = e^t^2 - 1 i + t^5 j

Passo 4

Agora, precisamos encontrar r'(t), que é a derivada de r(t) em relação a t:
r(t) = t^2 i + t^3 j r'(t) = ddt(t^2) i + ddt(t^3) j = 2t i + 3t^2 j

Passo 5

A integral de linha integralC F cdot dr pode ser reescrita como uma integral de t de 0 a 1 do produto escalar de F(r(t)) e r'(t):
integral0^1 F(r(t)) cdot r'(t) , dt = integral0^1 ( e^t^2 - 1 cdot 2t + t^5 cdot 3t^2 ) dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
e^t^2 - 1 cdot 2t + t^5 cdot 3t^2 = 2t e^t^2 - 1 + 3t^7

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^1 (2t e^t^2 - 1 + 3t^7) dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Para integrar 2t e^t^2 - 1, fazemos uma substituição:
Seja u = t^2 - 1, então du = 2t , dt. A integral se torna:
integral e^u , du = e^u + C = e^t^2 - 1 + C

Passo 9

Para integrar 3t^7, usamos a regra de potência:
integral 3t^7 , dt = 3 cdot t^88 + C = 38 t^8 + C

Passo 10

Agora, juntando as integrais:
integral0^1 (2t e^t^2 - 1 + 3t^7) dt = [ e^t^2 - 1 + 38 t^8 ]0^1

Passo 11

Vamos avaliar de 0 a 1:
Para t = 1:
e^1 - 1 + 38 (1)^8 = e^0 + 38 = 1 + 38 = 118
Para t = 0:
e^0 - 1 + 38 (0)^8 = e^-1 + 0 = 1e

Passo 12

Subtraindo os valores:
118 - 1e

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac118 - dfrac1e.

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