Calcular integral duplaS1 F d S, onde F(x, y, z)=(x, y, z) e S1 é a superfície de equação z=1+x^2+y^2 com 1 <= z <= 3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície S1 de equação z=1+x^2+y^2 restrita a 1<= z<=3. O conteúdo aqui é integral de superfície vetorial, usando a parametrização de uma superfície dada como gráfico z=f(x,y).

Passo 2

Como S1 é o gráfico de z=1+x^2+y^2 sobre o disco D=(x,y)mid 1<=1+x^2+y^2<=3, isto é x^2+y^2<=2, tomamos (x,y)in D e a área vetorial orientada para cima é
d S =(-fx,-fy,1),dA =(-2x,-2y,1),dA
Logo o fluxo é
integral duplaS1 Fcdot d S =integral duplaD(x,y,1+x^2+y^2)cdot(-2x,-2y,1),dA

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
(x,y,1+x^2+y^2)cdot(-2x,-2y,1) =-2x^2-2y^2+(1+x^2+y^2) =1 - (x^2+y^2)
Então
integral duplaS1 Fcdot d S =integral duplaDl(1-(x^2+y^2)r),dA

Passo 4

Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, o disco D é 0<= r<=raiz2, 0<=theta<=2pi, e dA=r,dr,dtheta. Assim
integral duplaD(1-r^2),r,dr,dtheta =integral0^2pi!integral0^raiz2(r-r^3),dr,dtheta =2pil[tfracr^22-tfracr^44r]0^raiz2 =2pil(1-1r)=0

Resposta

O fluxo de F através de S1 é 0.

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