Calcule a área do cilindro z=x^2, usando uma parametrização conveniente, delimitado pelos planos y=0, y=4 e z=4, no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície dada por z=x^2 no primeiro octante, limitada pelos planos y=0, y=4 e z=4. O conteúdo envolvido é cálculo de área de superfície de uma função do tipo z=f(x,y). Para resolver, vamos usar uma parametrização conveniente em variáveis x e y e depois aplicar a fórmula da área
A=integral duplaDraiz1+l(tfracpartial zpartial xr)^2+l(tfracpartial zpartial yr)^2;dA

Passo 2

Parametrizamos a superfície por
r(x,y)=l(x,;y,;x^2r),
onde o domínio em (x,y) é
D=(x,y)mid 0<= x<= 2,;0<= y<= 4,
pois z=x^2<= 4 implica 0<= x<= 2. Calculamos as derivadas parciais:
rx=(1,0,2x), ry=(0,1,0)
O módulo do produto vetorial dá o fator de escala:
|rxtimesry| =raiz1+(2x)^2+0 =raiz1+4x^2

Passo 3

Pela fórmula da área,
A =integral duplaD|rxtimesry|;dA =integralx=0^2integraly=0^4raiz1+4x^2;dy,dx =integral0^2l[raiz1+4x^2cdot yr]y=0^4dx =4integral0^2raiz1+4x^2;dx

Passo 4

Falta calcular
integral0^2raiz1+4x^2;dx
Usando a primitivação
integralraiz1+4x^2,dx =x2raiz1+4x^2 +14lnl(2x+raiz1+4x^2r)+C,
avalia-se de 0 a 2:
l[x2raiz1+4x^2 +14lnl(2x+raiz1+4x^2r)r]0^2 =raiz17 +14lnl(4+raiz17r)
Multiplicando por 4 obtemos a área total:
A = 4raiz17 + lnl(4+raiz17r)

Resposta

A = 4raiz17 + lnl(4 + raiz17r)

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