integral 4x^2-2 x+10 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral 4x^2-2x+10,dx
Este é um caso de integral de função racional cujo denominador é um polinômio quadrático sem raízes reais. Vamos completar o quadrado no denominador e depois usar a fórmula padrão
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracuar) + C

Passo 2

Completar o quadrado em x^2-2x+10:
x^2-2x+10 = l(x^2 -2x +1r) +9 = (x-1)^2 + 3^2
Defina u = x-1. Então du = dx e a integral fica
integral 4u^2+3^2,du

Passo 3

Use a fórmula
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracuar)+C
com a=3. Assim,
integral 4u^2+9,du = 4integral duu^2+3^2 = 4cdot13arctan!l(tfracu3r)+C = 43arctan!l(tfracu3r)+C

Passo 4

Volte à variável original x com u = x-1:
43arctan!l(tfracx-13r)+C

Resposta

integral 4x^2-2x+10,dx = 43arctan!l(tfracx-13r) + C

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