Calcule a integral de superfície
, onde
é a esfera unitária dada por
e representada parametricamente pelas equações
e
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a esfera unitária
, parametrizada por
com
e
.
O conteúdo é integrais de superfície em parametrização, e vamos precisar da expressão do elemento de área em coordenadas esféricas.
O conteúdo é integrais de superfície em parametrização, e vamos precisar da expressão do elemento de área
Passo 2
Para uma superfície parametrizada por
, vale
No caso da esfera de raio 1 em coordenadas esféricas clássicas, é um resultado conhecido que
logo
Passo 3
Substituindo
z=cos(phi) e
ds=sin(phi),dphi,dtheta na integral de superfície, obtemos
Passo 4
Vamos primeiro calcular a integral em
phi usando a substituição
u=cos(phi) , daí
du=-sin(phi),dphi .
Logo a parte em
phi vale
tfrac23 .
Passo 5
Agora a integral em
theta é trivial:
Multiplicando os resultados,