Calcule a integral de superfície integral duplaS z^2 d s, onde S é a esfera unitária dada por x^2+y^2+z^2=1 e representada parametricamente pelas equações x=cos (theta) sen(phi), y=sen(theta) sen(phi) e z=cos (phi), com 0 <= phi <= pi e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS z^2,ds
onde S é a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1, parametrizada por
x=cos(theta)sin(phi), y=sin(theta)sin(phi), z=cos(phi),
com 0<=phi<=pi e 0<=theta<=2pi.
O conteúdo é integrais de superfície em parametrização, e vamos precisar da expressão do elemento de área ds em coordenadas esféricas.

Passo 2

Para uma superfície parametrizada por r(theta,phi), vale
ds = llvert rthetatimes rphirrvert,dtheta,dphi
No caso da esfera de raio 1 em coordenadas esféricas clássicas, é um resultado conhecido que
llvert rthetatimes rphirrvert = sin(phi),
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ds = sin(phi),dphi,dtheta

Passo 3

Substituindo z=cos(phi) e ds=sin(phi),dphi,dtheta na integral de superfície, obtemos
integral duplaS z^2,ds =integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi l(cos(phi)r)^2,sin(phi),dphi,dtheta

Passo 4

Vamos primeiro calcular a integral em phi usando a substituição u=cos(phi), daí du=-sin(phi),dphi.
integral0^pi cos^2(phi),sin(phi),dphi =integralu=1^u=-1 u^2(-du) =integral-1^1u^2,du =l[tfracu^33r]-1^1 =tfrac23
Logo a parte em phi vale tfrac23.

Passo 5

Agora a integral em theta é trivial:
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando os resultados,
integral duplaS z^2,ds = l(tfrac23r)times(2pi) = tfrac4pi3

Resposta

4pi3

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