Calcular integralS(nabla times F) cdot d A, onde S é a superfície x^2+y^2+3 z^2=1, z <= 0 e F(x, y, x)= (y,-x, z x^3 y^2). Use a orientação tal que a normal aponta para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de (nabla times F) sobre a superfície S, que é uma parte da elipsoide x^2 + y^2 + 3z^2 = 1 onde z <= 0. O campo vetorial F é dado por F(x, y, z) = (y, -x, z x^3 y^2). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de superfície com integrais de linha. Isso vai facilitar bastante a nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre S é igual à integral de linha de F ao redor da fronteira de S. Matematicamente, isso fica:
integralS (nabla times F) cdot dA = ointpartial S F cdot dr
Então, ao invés de calcular diretamente a integral de superfície, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda de S.

Passo 3

Agora, vamos identificar a fronteira partial S da nossa superfície S. A superfície S é a parte de x^2 + y^2 + 3z^2 = 1 onde z <= 0, então a borda é onde z = 0. Substituindo z = 0 na equação da elipsoide, temos:
x^2 + y^2 = 1
Isso significa que a fronteira é o círculo unitário no plano z = 0.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar essa curva de fronteira. Como é um círculo no plano z = 0, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
x = cos theta, y = sin theta, z = 0
onde theta varia de 0 a 2pi. Com isso, o vetor posição é r(theta) = (cos theta, sin theta, 0), e o diferencial de arco é:
dr = (-sin theta, cos theta, 0) dtheta

Passo 5

Agora, vamos avaliar o campo vetorial F ao longo dessa curva. Substituindo x = cos theta, y = sin theta, e z = 0 em F, temos:
F(cos theta, sin theta, 0) = (sin theta, -cos theta, 0)

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (sin theta)(-sin theta) + (-cos theta)(cos theta) + (0)(0) = -sin^2 theta - cos^2 theta = -(sin^2 theta + cos^2 theta) = -1

Passo 7

Agora, vamos integrar F cdot dr de theta = 0 a theta = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi -1 , dtheta = -2pi

Passo 8

De acordo com o Teorema de Stokes, essa integral de linha é igual à integral de superfície que queremos calcular. Ou seja:
integralS (nabla times F) cdot dA = -2pi

Resposta

A integral integralS (nabla times F) cdot dA é igual a -2pi.

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