Calcular
, onde
é a superfície
e
. Use a orientação tal que a normal aponta para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície de
sobre a superfície
, que é uma parte da elipsoide
onde
. O campo vetorial
é dado por
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de superfície com integrais de linha. Isso vai facilitar bastante a nossa vida!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
sobre
é igual à integral de linha de
ao redor da fronteira de
. Matematicamente, isso fica:
Então, ao invés de calcular diretamente a integral de superfície, vamos calcular a integral de linha ao redor da borda de
.
Passo 3
Agora, vamos identificar a fronteira
da nossa superfície
. A superfície
é a parte de
onde
, então a borda é onde
. Substituindo
na equação da elipsoide, temos:
Isso significa que a fronteira é o círculo unitário no plano
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar essa curva de fronteira. Como é um círculo no plano
, podemos usar coordenadas polares. Vamos definir:
onde
varia de
a
. Com isso, o vetor posição é
, e o diferencial de arco é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
ao longo dessa curva. Substituindo
,
, e
em
, temos:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, vamos integrar
de
a
:
Passo 8
De acordo com o Teorema de Stokes, essa integral de linha é igual à integral de superfície que queremos calcular. Ou seja:
Resposta
A integral
é igual a
.