Use o teorema de Green para calcular a área limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial, para encontrar a área limitada por uma elipse dada pela equação x^2a^2+y^2b^2=1. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular áreas e trabalhar com integrais ao longo de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Para calcular a área usando o Teorema de Green, podemos usar a fórmula:
Área = 12 ointC (x, dy - y, dx) Á
Aqui, C é a curva que define a fronteira da região, que no nosso caso é a elipse.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a elipse para facilitar os cálculos. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é usando ângulos, assim como fazemos para um círculo. Podemos escrever:
x = a cos theta y = b sin theta
onde theta varia de 0 a 2pi para percorrer toda a elipse.

Passo 4

Com a parametrização definida, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a theta:
dx = -a sin theta, dtheta dy = b cos theta, dtheta

Passo 5

Substituindo x, y, dx e dy na fórmula da área, temos:
Área = 12 integral0^2pi ( a cos theta cdot b cos theta, dtheta - b sin theta cdot (-a sin theta), dtheta ) Á
Simplificando os termos dentro da integral:
Área = 12 integral0^2pi ( ab cos^2 theta + ab sin^2 theta ) dtheta Á

Passo 6

Fatorando ab fora da integral:
Área = ab2 integral0^2pi ( cos^2 theta + sin^2 theta ) dtheta Á
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
Área = ab2 integral0^2pi 1, dtheta Á

Passo 7

Integrando 1 de 0 a 2pi:
Área = ab2 cdot (2pi) = ab pi Á

Resposta

A área limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1 é A = pi a b.

Exercícios relacionados