Use o teorema de Green para calcular a área limitada pela elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa usar o Teorema de Green, que é uma ferramenta da Cálculo Vetorial, para encontrar a área limitada por uma elipse dada pela equação
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular áreas e trabalhar com integrais ao longo de curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Para calcular a área usando o Teorema de Green, podemos usar a fórmula:
Aqui,
é a curva que define a fronteira da região, que no nosso caso é a elipse.
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a elipse para facilitar os cálculos. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é usando ângulos, assim como fazemos para um círculo. Podemos escrever:
onde
varia de
a
para percorrer toda a elipse.
Passo 4
Com a parametrização definida, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 6
Fatorando
fora da integral:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Integrando
de
a
:
Resposta
A área limitada pela elipse
é
.