Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^1 integral1-x^1-x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^1integral1 - x^,1 - x^2dy,dx
que integra a função constante 1 sobre a região
D = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;1 - x <= y <= 1 - x^2
O objetivo é esboçar D e reescrever a integral trocando a ordem de integração (primeiro em x, depois em y).

Passo 2

As fronteiras de D são as curvas
y = 1 - x (reta decrescente)
e
y = 1 - x^2 (parábola abrindo para baixo) á
Elas se intersectam em
1 - x = 1 - x^2Longrightarrow x(x - 1)=0 Longrightarrow x=0,1,
com pontos de interseção (0,1) e (1,0). A região D é o campo entre essas duas curvas para 0<= x<=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos um e descobrimos para quais ele pertence a . As desigualdades são
Como na definição original temos , ficamos com

Passo 4

Para que haja solução em x precisa valer
1 - y ;<=;raiz1 - y,
o que ocorre se e só se 0<=1-y<=1, isto é 0<= y<=1. Portanto y varia de 0 a 1, e para cada y temos
1 - y ;<=; x ;<=; raiz1 - y

Resposta

integral0^1integral1 - y^raiz1 - ydx,dy

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