Seja S a superfície fechada formada pelo hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0 e o disco x^2+y^2 <= 1, z=0. Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(2 x, 2 y, 2 z), orientando S com a normal apontando para fora da região limitada por S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma superfície fechada S que é formada por um hemisfério superior da esfera de raio 1 ( x^2 + y^2 + z^2 = 1 , com z >= 0 ) e um disco no plano z = 0 ( x^2 + y^2 <= 1 ). A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) através dessa superfície, com a orientação normal para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência da Cálculo Vetorial, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume dentro dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanto do campo passa através da superfície. Matematicamente, é representado por integral duplaS F cdot n , dS , onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a gente pode transformar esse fluxo em uma integral de volume. O teorema diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
onde V é o volume limitado pela superfície S .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F . A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F = (2x, 2y, 2z) , então:
nabla cdot F = 2 + 2 + 2 = 6

Passo 5

Com a divergência calculada, a integral de volume fica:
integral triplaV 6 , dV = 6 integral triplaV dV = 6 times Volume de V
O volume V é o de um hemisfério de raio 1.

Passo 6

Sabemos que o volume de uma esfera completa é 43pi r^3 . Como temos apenas um hemisfério, o volume é metade disso:
Volume de V = 12 times 43pi (1)^3 = 23pi

Passo 7

Finalmente, substituindo o volume na integral:
6 times 23pi = 4pi

Resposta

O fluxo do campo F através da superfície S é 4pi .

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