Seja
a superfície fechada formada pelo hemisfério
e o disco
. Calcule o fluxo do campo
, orientando
com a normal apontando para fora da região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma superfície fechada
que é formada por um hemisfério superior da esfera de raio 1 (
, com
) e um disco no plano
(
). A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através dessa superfície, com a orientação normal para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência da Cálculo Vetorial, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com o volume dentro dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanto do campo passa através da superfície. Matematicamente, é representado por
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, a gente pode transformar esse fluxo em uma integral de volume. O teorema diz que:
onde
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Com a divergência calculada, a integral de volume fica:
O volume
é o de um hemisfério de raio 1.
Passo 6
Sabemos que o volume de uma esfera completa é
. Como temos apenas um hemisfério, o volume é metade disso:
Passo 7
Finalmente, substituindo o volume na integral:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
é
.