Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^1 integral2^4-2 x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais duplas! A gente precisa primeiro desenhar a região onde a gente vai integrar e depois inverter a ordem das integrações na integral dada:
integral0^1 integral2^4-2x dy , dx
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como entender e manipular os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar entendendo os limites da integral original. O x varia de 0 até 1. Para cada valor de x nesse intervalo, o y varia de 2 até 4 - 2x . Vamos desenhar isso no plano cartesiano:
  1. Limite de x : 0 a 1.
  2. Limite de y para cada x : 2 até 4 - 2x .
Ao plotar esses limites, percebemos que a região de integração é um trapézio delimitado pelas retas y = 2 , y = 4 - 2x , x = 0 e x = 1 .

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x em termos de y . A equação que liga x e y na integral original é y = 4 - 2x . Vamos resolver para x :
y = 4 - 2x Rightarrow 2x = 4 - y Rightarrow x = 4 - y2
Também, observamos que o menor valor de y na região é 2 e o maior é 4.

Passo 4

Com isso, os novos limites de integração ficam:
  1. Limite de y : de 2 a 4.
  2. Limite de x para cada y : de 0 até 4 - y2 .
Então, a integral com a ordem invertida fica:
integral2^4 integral0^4 - y2 dx , dy

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral2^4 integral0^4 - y2 dx , dy

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