Nos Exercicios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integrais duplas! A gente precisa primeiro desenhar a região onde a gente vai integrar e depois inverter a ordem das integrações na integral dada:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como entender e manipular os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar entendendo os limites da integral original. O
varia de 0 até 1. Para cada valor de
nesse intervalo, o
varia de 2 até
. Vamos desenhar isso no plano cartesiano:
- Limite de
: 0 a 1. - Limite de
para cada : 2 até .
Ao plotar esses limites, percebemos que a região de integração é um trapézio delimitado pelas retas
,
,
e
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. A equação que liga
e
na integral original é
. Vamos resolver para
:
Também, observamos que o menor valor de
na região é 2 e o maior é 4.
Passo 4
Com isso, os novos limites de integração ficam:
- Limite de
: de 2 a 4. - Limite de
para cada : de 0 até .
Então, a integral com a ordem invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: