Calcular integral duplaD cos (x-yx+y) d x d y, onde D ûˋ a regiûÈo limitada pelas retas x+y=1, x+y=4, x=0, y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD cos!l(x-yx+yr),dx,dy
onde D é a região do primeiro quadrante limitada por
x+y=1, x+y=4, x=0, y=0
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando uma transformação que torne o argumento de cos simples.

Passo 2

Escolhemos a transformação
u = x+y, v = x-y Nesse caso x = u+v2, y = u-v2, e o jacobiano vale partial(x,y)partial(u,v) = det tfrac12 & tfrac12[6pt] tfrac12 & -tfrac12 = -tfrac12 - tfrac12 = -1,
logo l|Jr|=12 e
dx,dy = 12,du,dv]

Passo 3

Agora determinamos a imagem de D no plano (u,v):
  • Pelas retas x+y=1 e x+y=4, temos uin[1,4].
  • Como x>=0 e y>=0, isso dá
    tfracu+v2>=0 e tfracu-v2>=0, i.e. v>= -u e v<= u
Portanto o domínio em (u,v) é
1<= u<=4, -,u<= v<= u

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral duplaDcos!l(x-yx+yr),dx,dy = integralu=1^4integralv=-u^u cos!l(vur),12,dv,du

Passo 5

Calculamos a integral em v com a troca t = v/u, de modo que dv = u,dt e t varia de -1 a 1:
integralv=-u^ucos!l(vur),dv = integralt=-1^1cos(t),u,dt = uintegral-1^1cos(t),dt = ul[,sin(t)r]-1^1 = 2usin(1)
Multiplicando pelo fator 1/2 do jacobiano, essa parte vira
12cdot 2usin(1)=usin(1)

Passo 6

Sobrou a integral em u:
integral1^4usin(1),du = sin(1)integral1^4u,du = sin(1)l[tfrac12u^2r]1^4 = sin(1)cdot tfrac12(16-1) = 152sin(1)

Resposta

152,sin(1)

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