Calcular
, onde
ûˋ a regiûÈo limitada pelas retas
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada por
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, usando uma transformação que torne o argumento de
simples.
Passo 2
Escolhemos a transformação
logo
l|Jr|=12 e
Passo 3
Agora determinamos a imagem de
D no plano
(u,v) :
- Pelas retas
ex+y=1 , temosx+y=4 .uin[1,4] - Como
ex>=0 , isso dáy>=0
etfracu+v2>=0 , i.e.tfracu-v2>=0 v>= -u e v<= u
Portanto o domínio em
(u,v) é
Passo 4
Substituindo na integral original:
Passo 5
Calculamos a integral em
v com a troca
t = v/u , de modo que
dv = u,dt e
t varia de
-1 a
1 :
Multiplicando pelo fator
1/2 do jacobiano, essa parte vira
Passo 6
Sobrou a integral em
u :