Calcule a integral definida encaran-do-a como a área sob o gráfico de uma funçāo.
32 integral-1^4|x| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-1^4 |x| , dx. O objetivo aqui é calcular a área sob o gráfico da função |x| entre os limites de -1 e 4. Para isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto se comporta e como calcular integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função valor absoluto |x| se comporta de duas maneiras dependendo do valor de x:
  • Para x >= 0, |x| = x.
  • Para x < 0, |x| = -x.
Como nosso intervalo de integração vai de -1 a 4, precisamos dividir a integral em duas partes: uma de -1 a 0 e outra de 0 a 4.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte da integral, de -1 a 0, onde x < 0. Nesse intervalo, |x| = -x. Então, a integral fica:
integral-1^0 |x| , dx = integral-1^0 (-x) , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral:
integral-1^0 (-x) , dx = -integral-1^0 x , dx = -[ 12x^2 ]-1^0
Calculando os limites:
- ( 12(0)^2 - 12(-1)^2 ) = - ( 0 - 12 ) = 12

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, de 0 a 4, onde x >= 0. Nesse intervalo, |x| = x. Então, a integral fica:
integral0^4 |x| , dx = integral0^4 x , dx

Passo 6

Resolvendo essa integral:
integral0^4 x , dx = [ 12x^2 ]0^4 = 12(4)^2 - 12(0)^2 = 12(16) - 0 = 8

Passo 7

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter a área total:
12 + 8 = 8,5

Resposta

A área sob o gráfico da função |x| entre -1 e 4 é igual a 8,5.

Exercícios relacionados