Calcule a integral definida encaran-do-a como a área sob o gráfico de uma funçāo.
31 integral0^3|x-1| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular a integral definida integral0^3 |x -1| , dx, que representa a área sob o gráfico da função absoluta |x -1| no intervalo de 0 a 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de valor absoluto e como calcular integrais definidas dividindo o intervalo quando a função muda de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função |x -1| . O valor absoluto muda sua expressão dependendo do valor de x . Precisamos encontrar o ponto onde x -1 = 0 , ou seja, quando x = 1 . Esse ponto divide o intervalo de 0 a 3 em duas partes onde a função terá expressões diferentes.

Passo 3

No intervalo de 0 a 1, x -1 é negativo, então |x -1| = -(x -1) = 1 - x . Vamos calcular a integral nessa parte:
integral0^1 (1 - x) , dx
Calcular essa integral nos dará a área da curva de 0 a 1.

Passo 4

No intervalo de 1 a 3, x -1 é positivo, então |x -1| = x -1 . Vamos calcular a integral nessa parte:
integral1^3 (x -1) , dx
Essa integral nos dará a área da curva de 1 a 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para a primeira integral:
integral0^1 (1 - x) , dx = [ x - x^22 ]0^1 = (1 - 12) - (0 - 0) = 12
Para a segunda integral:
integral1^3 (x -1) , dx = [ x^22 - x ]1^3 = (92 - 3) - (12 -1) = (32) - (-12) = 2

Resposta

Somando as duas áreas, temos:
12 + 2 = 52
Então, a área sob o gráfico da função |x -1| de 0 a 3 é 52 unidades quadradas.

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