Calcule a integral definida encaran-do-a como a área sob o gráfico de uma funçāo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular a integral definida
, que representa a área sob o gráfico da função absoluta
no intervalo de 0 a 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções de valor absoluto e como calcular integrais definidas dividindo o intervalo quando a função muda de expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto muda sua expressão dependendo do valor de
. Precisamos encontrar o ponto onde
, ou seja, quando
. Esse ponto divide o intervalo de 0 a 3 em duas partes onde a função terá expressões diferentes.
Passo 3
No intervalo de 0 a 1,
é negativo, então
. Vamos calcular a integral nessa parte:
Calcular essa integral nos dará a área da curva de 0 a 1.
Passo 4
No intervalo de 1 a 3,
é positivo, então
. Vamos calcular a integral nessa parte:
Essa integral nos dará a área da curva de 1 a 3.
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Resposta
Somando as duas áreas, temos:
Então, a área sob o gráfico da função
de 0 a 3 é
unidades quadradas.