Calcular ,passando para coordenadas polares no domínio D :
integralegral duplaD(x^2+y^2) d x d y com D=(x, y):(x^2+y^2 <= R^2) wed>= y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(x^2+y^2r),dx,dy
no domínio
D=(x,y)mid x^2+y^2<= R^2,;y>=0,
ou seja, meia-lua de raio R sobre o eixo x. O conteúdo é mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Na mudança para polares, usamos
x = rcostheta, y = rsintheta,
de modo que
x^2+y^2=r^2 e dx,dy = r,dr,dtheta

Passo 3

O domínio D em polares fica
0<= r<= R, 0<= theta<= pi,
pois cobrimos o semicírculo superior ( y>=0).

Passo 4

Substituindo na integral:
integral duplaD(x^2+y^2),dx,dy =integraltheta=0^piintegralr=0^Rr^2,(r,dr,dtheta) =integral0^pi!integral0^Rr^3,dr,dtheta
Calculando o interno:
integral0^Rr^3,dr =R^44,
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integral0^piR^44,dtheta =R^44,pi

Resposta

pi,R^44

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