Colocar os limites de integração,de domínio S em uma ou outra ordem, na integral dupla:
integralegral duplaS f(x, y) d x d y
S é um paralelogramo com vértives A(1 ; 2), B(2 ; 4), C(2 ; 7) D(1 ; 5)

Passo 1

O enunciado pede para descrever o domínio
S
na forma de limites de integração em cada ordem (primeiro y depois x, e vice-versa).
O paralelogramo ABCD tem vértices
A(1,2), B(2,4), C(2,7), D(1,5)
As arestas verticais são x=1 e x=2, a aresta inferior é a reta que une A a B, ou seja
y=2x,
e a aresta superior é a reta que une D a C, ou seja
y=2x+3

Passo 2

Para integrar primeiro em y e depois em x, basta notar que x varia de 1 a 2 e, para cada x, y varia entre as retas y=2x (inferior) e y=2x+3 (superior). Assim
integral duplaSf(x,y),dy,dx =integralx=1^2l(integraly=2x^2x+3f(x,y),dyr),dx

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos S no eixo y. O menor y em S é 2 (em A) e o maior é 7 (em C). Para um dado yin[2,7], o ponto (x,y) está em S se
1<= x<= 2 e 2x<= y<= 2x+3,
isto é
y-32<= x<= y2
Fazendo a interseção com 1<= x<=2 surgem três faixas em y:
  • Se 2<= y<= 4, então (y-3)/2<=1 e y/2<=2, logo xin[1,y/2].
  • Se 4<= y<= 5, então (y-3)/2<=1 mas y/2>=2, logo xin[1,2].
  • Se 5<= y<= 7, então (y-3)/2>=1 e y/2>=2, logo xin[(y-3)/2,2].

Passo 4

Reunindo, a integral em ordem dx,dy fica
integral duplaSf(x,y),dx,dy = integraly=2^4l(integralx=1^y/2f(x,y),dxr),dy ;+; integraly=4^5l(integralx=1^2f(x,y),dxr),dy ;+; integraly=5^7l(integralx=(y-3)/2^2f(x,y),dxr),dy

Resposta

boxed integral duplaSf(x,y),dy,dx =integral1^2l(integral2x^2x+3f(x,y),dyr),dx,
boxed integral duplaSf(x,y),dx,dy =integral2^4l(integral1^y/2f(x,y),dxr),dy +integral4^5l(integral1^2f(x,y),dxr),dy +integral5^7l(integral(y-3)/2^2f(x,y),dxr),dy

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