Colocar os limites de integração,de domínio
em uma ou outra ordem, na integral dupla:
é um paralelogramo com vértives
Passo 1
O enunciado pede para descrever o domínio
na forma de limites de integração em cada ordem (primeiro depois
, e vice-versa).
O paralelogramo tem vértices
na forma de limites de integração em cada ordem (primeiro
O paralelogramo
As arestas verticais são
e
, a aresta inferior é a reta que une
a
, ou seja
e a aresta superior é a reta que une
a
, ou seja
Passo 2
Para integrar primeiro em
e depois em
, basta notar que
varia de
a
e, para cada
,
varia entre as retas
(inferior) e
(superior). Assim
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. O menor
em
é
(em
) e o maior é
(em
). Para um dado
, o ponto
está em
se
isto é
Fazendo a interseção com
surgem três faixas em
:
- Se
, então e , logo . - Se
, então mas , logo . - Se
, então e , logo .
Passo 4
Reunindo, a integral em ordem
fica