Construír o domínio da integração dos seguintes integrais sucessivos:
integral0^2 d x integral0^raiz4-x^2 f(x, y) d y

Passo 1

O enunciado pede para identificar o conjunto de pontos (x,y) em que estamos integrando ao escrever
integral0^2!dx;integral0^raiz4-x^2!f(x,y),dy
O conteúdo aqui é geometria de regiões do plano e como descrever esse domínio de integração.

Passo 2

A primeira integral externa informa que
0 <= x <= 2,
e para cada x fixado, a integral interna dá
0 <= y <= raiz4 - x^2
Logo, o domínio D é o conjunto de todos (x,y) que satisfazem essas duas condições simultaneamente.

Passo 3

Podemos então escrever
D = l(x,y)inR^2mid 0 <= x <= 2,;0 <= y <= raiz4 - x^2r

Passo 4

Reconhecendo que a condição y <= raiz4 - x^2 equivale a x^2+y^2<=4 com y>=0, vemos que D é exatamente o quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante, ou seja,
D = l(x,y)mid x^2+y^2<=4,;x>=0,;y>=0r

Resposta

D = (x,y)inR^2mid 0 <= x <= 2,;0 <= y <= raiz4 - x^2 ou D = (x,y)mid x^2+y^2<=4,;x>=0,;y>=0

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