Calcular o que é pedido
Calcule integral duplasigma rot F cdot n d S onde F(x, y, z)=y i+(x+y) k, sigma(u, v) =(u, v, 2-u^2-v^2), com u^2+v^2 <= 1, sendo n a normal apontando para cima.

Passo 1

Primeiro a gente recapitula o enunciado: precisamos calcular a integral de superfície integral duplasigmarot,vec Fcdotvec n,dS para a superfície parametrizada por sigma(u,v)=(u,v,2-u^2-v^2) com u^2+v^2<=1. O conteúdo aqui é cálculo de rotacional, produto vetorial para achar a normal de uma parametrização e integração em um domínio planar.

Passo 2

Em seguida, calculamos o rotacional de vec F(x,y,z)=y,vec i+0,vec j+(x+y),vec k. Pela definição nablatimesvec F=(partialyR-partialzQ,partialzP-partialxR,partialxQ-partialyP), obtemos
rot,vec F=(1,-1,-1)

Passo 3

Depois, achamos os vetores tangentes sigmau=(1,0,-2u) e sigmav=(0,1,-2v) e fazemos o produto vetorial
sigmautimessigmav=(2u,2v,1),
cuja componente k é positiva, garantindo a normal apontando para cima.

Passo 4

Agora, avaliamos o produto escalar
(1,-1,-1)cdot(2u,2v,1)=2u-2v-1

Passo 5

Por fim, integramos sobre o disco u^2+v^2<=1:
integral duplau^2+v^2<=1(2u-2v-1),du,dv
Pela simetria, os termos 2u e -2v dão zero, restando
integral duplaD-1,du,dv=-Área(D)=-pi Á

Resposta

-\pi

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