Calcular o que é pedido
Calcule
onde
, sendo
a normal apontando para cima.
Calcule
Passo 1
Primeiro a gente recapitula o enunciado: precisamos calcular a integral de superfície
para a superfície parametrizada por
com
. O conteúdo aqui é cálculo de rotacional, produto vetorial para achar a normal de uma parametrização e integração em um domínio planar.
Passo 2
Em seguida, calculamos o rotacional de
. Pela definição
, obtemos
Passo 3
Depois, achamos os vetores tangentes
e
e fazemos o produto vetorial
cuja componente
é positiva, garantindo a normal apontando para cima.
Passo 4
Agora, avaliamos o produto escalar
Passo 5
Por fim, integramos sobre o disco
:
Pela simetria, os termos
e
dão zero, restando
Resposta
-\pi