Calcule as integrais definidas usando o método de substituição, se necessário.
integral0^12 11+4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^12 11+4x^2 ,dx
O conteúdo é o cálculo de integral de função racional do tipo 11+a^2x^2, que leva a uma primitiva envolvendo a função arco-tangente, possivelmente com uma substituição para ajustar o coeficiente.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x Longrightarrow du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Quando x=0, u=0. Quando x=tfrac12, u=2cdottfrac12=1. A integral vira
integral0^1211+4x^2,dx = integralu=0^u=1 11+u^2cdotdu2 = 12integral0^1du1+u^2

Passo 3

Sabemos que
integral du1+u^2 = arctan(u) + C
Logo a integral definida é
12l[arctan(u)r]0^1 = 12l(arctan(1)-arctan(0)r) = 12l(tfracpi4-0r) = pi8

Resposta

pi8

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