a. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 1 em (0,0) para a função f definida por
f(x, y)=e^a x+b y-cos (c x+d y)
com a, b, c, d numeros reais.

Passo 1

O exercício pede o polinômio de Taylor de ordem 1 de uma função de duas variáveis em (0,0). O conteúdo principal é o polinômio de Taylor multivariável, em que usamos expresão linear em torno do ponto.

Passo 2

Para f(x,y) a expansão de primeira ordem em (0,0) é dada por T1(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y, onde fx e fy são as derivadas parciais.

Passo 3

Calculemos o valor no ponto: f(0,0)=e^acdot0+bcdot0-cos(ccdot0+dcdot0)=1-1=0

Passo 4

Agora as derivadas parciais gerais: fx(x,y)=a,e^a x+b y+c,sin(c x+d y),fy(x,y)=b,e^a x+b y+d,sin(c x+d y)

Passo 5

Avaliando em (0,0) dá fx(0,0)=a e fy(0,0)=b. Substituindo na fórmula do Taylor, obtemos o polinômio linear.

Resposta

T1(x,y)=a,x+b,y

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