Seja f a função definida em R^2 por f(x, y)=x y^2.
a. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 3 para f num ponto ( x0, y0 ).
b. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 3 para f em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 da função f(x,y)=x y^2 num ponto arbitrário (x0,y0) e depois em (0,0). O conteúdo aqui é a expansão de Taylor de segunda e terceira ordem em duas variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de f até a ordem 3.

Passo 2

A fórmula de Taylor de ordem 3 em duas variáveis, usando h=x-x0 e k=y-y0, é dada por:
T3 = f0 + fx h + fy k + 12(fxxh^2 +2fxyh k + fyyk^2) + 16(fxxxh^3 +3fxxyh^2k +3fxyyhk^2 + fyyyk^3),
onde as derivadas estão avaliadas em (x0,y0) e f0=f(x0,y0).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x y^2:
fx = y^2,
fy = 2xy,
fxx=0,
fxy=2y,
fyy=2x,
fxxx=0,
fxxy=0,
fxyy=2,
fyyy=0

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula de Taylor, note que os únicos termos não nulos até a segunda ordem são f0, fx, fy, fxy e fyy. Logo a parte até segunda ordem fica:
T2 = x0y0^2 + y0^2h + 2x0y0k + 12l(2cdot2y0,h k +2x0 k^2r)
e simplificando:
T2 = x0y0^2 + y0^2h + 2x0y0k + 2y0,h k + x0 k^2

Passo 5

O único termo de terceira ordem não nulo vem de fxyy=2, que gera:
16cdot3cdot fxyy,h k^2 = 3cdot26,h k^2 = h k^2

Passo 6

Assim o polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de (x0,y0) é:
T3(x,y) = x0y0^2 + y0^2(x-x0) + 2x0y0(y-y0) + 2y0(x-x0)(y-y0) + x0(y-y0)^2 + (x-x0)(y-y0)^2

Passo 7

Em particular, para (x0,y0)=(0,0) temos h=x, k=y e todos os coeficientes anteriores zero, restando apenas o termo de terceira ordem:
T3^(0,0)(x,y) = x y^2

Resposta

Polinômio de ordem 3 em torno de (x0,y0):
T3(x,y) = x0y0^2 + y0^2(x-x0) + 2x0y0(y-y0) + 2y0(x-x0)(y-y0) + x0(y-y0)^2 + (x-x0)(y-y0)^2
Em (0,0), T3(x,y)=x y^2.

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