Seja
a função definida em
por
.
a. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 3 para
num ponto (
).
b. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 3 para
em
.
a. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 3 para
b. Calcular o polinomio de Taylor de ordem 3 para
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 da função
num ponto arbitrário
e depois em
. O conteúdo aqui é a expansão de Taylor de segunda e terceira ordem em duas variáveis, e vamos precisar das derivadas parciais de
até a ordem 3.
Passo 2
A fórmula de Taylor de ordem 3 em duas variáveis, usando
e
, é dada por:
onde as derivadas estão avaliadas em
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula de Taylor, note que os únicos termos não nulos até a segunda ordem são
,
,
,
e
. Logo a parte até segunda ordem fica:
e simplificando:
Passo 5
O único termo de terceira ordem não nulo vem de
, que gera:
Passo 6
Assim o polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de
é:
Passo 7
Em particular, para
temos
,
e todos os coeficientes anteriores zero, restando apenas o termo de terceira ordem:
Resposta
Polinômio de ordem 3 em torno de
:
Em
,
.