Verificar o Teorema de Stokes no caso seguinte :
S=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2=z^2, 0 <= z <= 1
e
[
\vec{F}(x, y, z)=(z, x, y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes para a superfície S definida pelo cone x^2+y^2=z^2 com 0<= z<=1 e o campo vec F(x,y,z)=(z,x,y). Pela teoria, precisamos mostrar que a integral de linha de vec F ao longo da fronteira partial S é igual à integral de superfície do rotacional de vec F sobre S:
ointpartial Svec Fcdot dvec r ,=,integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S

Passo 2

A fronteira partial S é o círculo no plano z=1 de raio 1, orientado positivamente visto de cima. Parametrizamos:
x=cos t, y=sin t, z=1, tin[0,2pi]
Então
dr=l(-sin t,,cos t,,0r)dt,
vec F=(1,cos t,sin t),
vec Fcdot dvec r=(-sin t)+(cos^2 t)+0=-sin t+tfrac1+cos2t2
Integrando de 0 a 2pi: os termos -sin t e cos2t têm integral zero, sobra
integral0^2pitfrac12,dt=pi
Logo ointpartial Svec Fcdot dvec r=pi.

Passo 3

Agora calculamos o rotacional:
nablatimesvec F=(1,1,1)
Parametrizamos a superfície lateral do cone por
vec r(u,theta)=(ucostheta,,usintheta,,u), uin[0,1],,thetain[0,2pi]
Calculamos as derivadas:
vec ru=(costheta,sintheta,1), vec rtheta=(-usintheta,,ucostheta,,0)
O produto vetorial orientado para cima é
vec rutimesvec rtheta=(-ucostheta,,-usintheta,,u)
Logo o elemento de área vetorial é dvec S=vec rutimesvec rtheta,du,dtheta. Fazendo o produto escalar:
(nablatimesvec F)cdot dvec S = (1,1,1)cdot(-ucostheta,-usintheta,u),du,dtheta =(-ucostheta -usintheta +u),du,dtheta
Integrando em u de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi: os termos com costheta e sintheta se anulam, restando
integral0^2pi!integral0^1 u,du,dtheta =2picdottfrac12=pi
Portanto integral duplaS(nablatimesvec F)cdot dvec S=pi.

Resposta

As duas integrais coincidem e valem pi, confirmando o Teorema de Stokes.

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