Frações parciais
integral d x2 x^2-8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dx2x^2-8 usando frações parciais, que é uma técnica de integração de funções racionais onde fatoramos o denominador e escrevemos o integrando como soma de frações simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
2x^2-8 = 2,(x^2-4) = 2,(x-2)(x+2)
Logo,
12x^2-8 = 12,(x-2)(x+2) = tfrac12,1(x-2)(x+2)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1(x-2)(x+2) = Ax-2 + Bx+2
Multiplicando por (x-2)(x+2), obtemos
1 = A(x+2) + B(x-2)
Escolhendo x=2 1=4A logo A=tfrac14, e x=-2 1=-4B logo B=-tfrac14.

Passo 4

Substituímos na integral e tiramos constantes para fora:
integral dx2x^2-8 = tfrac12integral dx(x-2)(x+2) = tfrac12integrall(tfrac1/4x-2 - tfrac1/4x+2r)dx = tfrac18integrall(1x-2 - 1x+2r)dx

Passo 5

Integramos cada termo usando integraldxx-a=ln|x-a|+C:
tfrac18l(ln|x-2| - ln|x+2|r) + C = tfrac18lnl|x-2x+2r| + C

Resposta

18lnl|x-2x+2r|+C

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