Calcular o ponto de interseção das retas:
(b) r: x-22=y3=z-54, s: x & =5+lambda y & =2-lambda z & =7-2 lambda

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo retas no espaço tridimensional. O objetivo é encontrar o ponto onde duas retas, r e s , se cruzam ou verificar se elas não têm ponto de interseção. Para isso, vamos precisar entender como representar retas no espaço e utilizar sistemas de equações para encontrar coordenadas que satisfaçam ambas as retas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação da reta r :
x-22 = y3 = z-54
Essa é a forma paramétrica da reta r . Podemos expressar cada coordenada em função de um parâmetro comum, que chamaremos de t :
x = 2 + 2t y = 0 + 3t z = 5 + 4t
Assim, qualquer ponto na reta r pode ser descrito por (2 + 2t, 3t, 5 + 4t) .

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação da reta [s):
Aqui, . Portanto, qualquer ponto na reta pode ser representado por .

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção das retas r e s , precisamos encontrar valores de t e lambda que tornem as coordenadas iguais para ambas as retas. Isso resulta em um sistema de equações:
2 + 2t = 5 + lambda 3t = 2 - lambda 5 + 4t = 7 - 2lambda

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Primeiramente, da segunda equação:
3t = 2 - lambda Rightarrow lambda = 2 - 3t
Agora, substituímos lambda = 2 - 3t na primeira equação:
2 + 2t = 5 + (2 - 3t) 2 + 2t = 7 - 3t 2t + 3t = 7 - 2 5t = 5 t = 1

Passo 6

Com t = 1 , encontramos lambda :
lambda = 2 - 3(1) = 2 - 3 = -1
Agora, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação:
5 + 4(1) = 7 - 2(-1) 5 + 4 = 7 + 2 9 = 9
Como a igualdade é verdadeira, os valores encontrados são consistentes.

Resposta

O ponto de interseção das retas r e s é (4, 3, 9) .

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