Dada a matriz A=|lll2 & 1 & 3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3| calcule a adj A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a adjunta (adj A) da matriz dada:
A = 2 & 1 & 3 0 & 2 & 1 5 & 1 & 3
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar calcular os cofatores de cada elemento da matriz e, em seguida, formar a matriz adjunta tomando a transposta da matriz de cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a matriz adjunta. A adjunta de uma matriz quadrada é a transposta da matriz de cofatores. Isso significa que a gente vai calcular o cofator de cada elemento da matriz original e depois trocar linhas por colunas na matriz de cofatores para obter a adjunta.

Passo 3

Vamos calcular o cofator de cada elemento da matriz A. O cofator Cij de um elemento aij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij)
onde Mij é a matriz menor que a gente obtém removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 4

Vamos começar pelo elemento a11 = 2. Para C11:
  • Removemos a 1ª linha e a 1ª coluna, ficando com:
M11 = 2 & 1 1 & 3
  • Calculamos o determinante de M11:
det(M11) = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5
  • Aplicamos a fórmula do cofator:
C11 = (-1)^1+1 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5

Passo 5

Agora, para o elemento a12 = 1. Para C12:
  • Removemos a 1ª linha e a 2ª coluna:
M12 = 0 & 1 5 & 3
  • Determinante:
det(M12) = (0)(3) - (1)(5) = 0 - 5 = -5
  • Cofator:
C12 = (-1)^1+2 cdot (-5) = (-1) cdot (-5) = 5

Passo 6

Para o elemento a13 = 3. Para C13:
  • Removemos a 1ª linha e a 3ª coluna:
M13 = 0 & 2 5 & 1
  • Determinante:
det(M13) = (0)(1) - (2)(5) = 0 - 10 = -10
  • Cofator:
C13 = (-1)^1+3 cdot (-10) = (-1)^4 cdot (-10) = 1 cdot (-10) = -10

Passo 7

Passando para a 2ª linha, elemento a21 = 0. Para C21:
  • Removemos a 2ª linha e a 1ª coluna:
M21 = 1 & 3 1 & 3
  • Determinante:
det(M21) = (1)(3) - (3)(1) = 3 - 3 = 0
  • Cofator:
C21 = (-1)^2+1 cdot 0 = (-1)^3 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0

Passo 8

Elemento a22 = 2. Para C22:
  • Removemos a 2ª linha e a 2ª coluna:
M22 = 2 & 3 5 & 3
  • Determinante:
det(M22) = (2)(3) - (3)(5) = 6 - 15 = -9
  • Cofator:
C22 = (-1)^2+2 cdot (-9) = (-1)^4 cdot (-9) = 1 cdot (-9) = -9

Passo 9

Elemento a23 = 1. Para C23:
  • Removemos a 2ª linha e a 3ª coluna:
M23 = 2 & 1 5 & 1
  • Determinante:
det(M23) = (2)(1) - (1)(5) = 2 - 5 = -3
  • Cofator:
C23 = (-1)^2+3 cdot (-3) = (-1)^5 cdot (-3) = -1 cdot (-3) = 3

Passo 10

Agora, para a 3ª linha, elemento a31 = 5. Para C31:
  • Removemos a 3ª linha e a 1ª coluna:
M31 = 1 & 3 2 & 1
  • Determinante:
det(M31) = (1)(1) - (3)(2) = 1 - 6 = -5
  • Cofator:
C31 = (-1)^3+1 cdot (-5) = (-1)^4 cdot (-5) = 1 cdot (-5) = -5

Passo 11

Elemento a32 = 1. Para C32:
  • Removemos a 3ª linha e a 2ª coluna:
M32 = 2 & 3 0 & 1
  • Determinante:
det(M32) = (2)(1) - (3)(0) = 2 - 0 = 2
  • Cofator:
C32 = (-1)^3+2 cdot 2 = (-1)^5 cdot 2 = -1 cdot 2 = -2

Passo 12

Por último, elemento a33 = 3. Para C33:
  • Removemos a 3ª linha e a 3ª coluna:
M33 = 2 & 1 0 & 2
  • Determinante:
det(M33) = (2)(2) - (1)(0) = 4 - 0 = 4
  • Cofator:
C33 = (-1)^3+3 cdot 4 = (-1)^6 cdot 4 = 1 cdot 4 = 4

Passo 13

Agora, juntando todos os cofatores, temos a matriz de cofatores:
Cof(A) = 5 & 5 & -10 0 & -9 & 3 -5 & -2 & 4

Passo 14

Para encontrar a adjunta adj(A), basta tomar a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) = 5 & 0 & -5 5 & -9 & -2 -10 & 3 & 4

Resposta

A adjunta da matriz A é:
adj(A) = 5 & 0 & -5 5 & -9 & -2 -10 & 3 & 4

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