Sejam
e
vetores em
. Mantenha a definição do produto de um número real
por um vetor
, como
. Definindo a soma como nos itens abaixo, determine quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a multiplicação por escalar usual
e uma nova “soma” definida por
O conteúdo é testar cada um dos axiomas de espaço vetorial sobre essas operações.
Passo 2
Verificamos os axiomas relacionados à soma:
- Fecho: para quaisquer
e , . - Comutatividade:
- Associatividade:
pois a multiplicação em
é associativa.
4. Existência de elemento neutro: procuramos tal que
4. Existência de elemento neutro: procuramos
logo
. Portanto o neutro é
.
Esses quatro axiomas (fecho, comutatividade, associatividade e neutro aditivo) continuam válidos.
Esses quatro axiomas (fecho, comutatividade, associatividade e neutro aditivo) continuam válidos.
Passo 3
A existência de inverso aditivo exigiria, para dado
, um
tal que
Isso implica
e
. Quando
ou
não há solução em
. Logo falha o axioma do inverso aditivo.
Passo 4
Agora os axiomas envolvendo multiplicação por escalar:
- Fecho:
. - Associatividade de escalares:
e
- Identidade escalar:
Portanto fecho, associatividade de escalares e
valem.
Passo 5
Verificamos as leis de distributividade:
-
versus :
Em geral
, logo falha
.
2. versus
:
2.
também não coincidem. Falha
.
Além disso, a condição daria
Além disso, a condição
logo também falha.
Resposta
Válidos:
A1) Fecho da soma
A2) Comutatividade da soma
A3) Associatividade da soma
A4) Existência do neutro aditivo
M1) Fecho da multiplicação escalar
M2) Associatividade de escalares
M3) Identidade escalar
A1) Fecho da soma
A2) Comutatividade da soma
A3) Associatividade da soma
A4) Existência do neutro aditivo
M1) Fecho da multiplicação escalar
M2) Associatividade de escalares
M3) Identidade escalar
Violados:
A5) Existência de inverso aditivo
D1)
D2)
E)
A5) Existência de inverso aditivo
D1)
D2)
E)