Sejam u=(x, y) e v=(x^prime, y^prime) vetores em R^2. Mantenha a definição do produto de um número real alpha por um vetor u, como alpha u=(alpha x, alpha y). Definindo a soma como nos itens abaixo, determine quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
u+v=(x x^prime, y y^prime)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto R^2 com a multiplicação por escalar usual
alpha,(x,y) = (alpha x,;alpha y)
e uma nova “soma” definida por
(x,y)+(x',y') = (,x x',;y y',)
O conteúdo é testar cada um dos axiomas de espaço vetorial sobre essas operações.

Passo 2

Verificamos os axiomas relacionados à soma:
  1. Fecho: para quaisquer u=(x,y) e v=(x',y'), u+v=(xx',yy')inR^2.
  2. Comutatividade:
u+v = (xx',yy') = (x'x,y'y) = v+u
  1. Associatividade:
(u+v)+w = ((xx')x'',;(yy')y'') = (x(x'x''),;y(y'y'')) = u+(v+w),
pois a multiplicação em R é associativa.
4. Existência de elemento neutro: procuramos 0V=(e1,e2) tal que
(x,y)+(e1,e2) = (xe1,;y e2) = (x,y)forall(x,y),
logo e1=e2=1. Portanto o neutro é (1,1).
Esses quatro axiomas (fecho, comutatividade, associatividade e neutro aditivo) continuam válidos.

Passo 3

A existência de inverso aditivo exigiria, para dado u=(x,y), um v=(x',y') tal que
(x,y)+(x',y') = (xx',,yy') = (1,1)
Isso implica x'=1/x e y'=1/y. Quando x=0 ou y=0 não há solução em R. Logo falha o axioma do inverso aditivo.

Passo 4

Agora os axiomas envolvendo multiplicação por escalar:
  1. Fecho: alpha(x,y)=(alpha x,alpha y)inR^2.
  2. Associatividade de escalares:
(alphabeta)(x,y) = ((alphabeta)x,(alphabeta)y)
e
alphal(beta(x,y)r) = (alpha(beta x),alpha(beta y)) = ((alphabeta)x,(alphabeta)y)
  1. Identidade escalar:
1cdot(x,y) = (1cdot x,1cdot y) = (x,y)
Portanto fecho, associatividade de escalares e 1cdot u=u valem.

Passo 5

Verificamos as leis de distributividade:
  1. alpha(u+v) versus alpha u + alpha v:
alpha(u+v) = (alpha,xx',;alpha,yy'),
alpha u + alpha v = l((alpha x)(alpha x'),;(alpha y)(alpha y')r) = (alpha^2xx',;alpha^2yy')
Em geral alpha,xx'neqalpha^2xx', logo falha alpha(u+v)=alpha u+alpha v.
2. (alpha+beta)u versus alpha u+beta u:
(alpha+beta)(x,y) = ((alpha+beta)x,(alpha+beta)y),
alpha u + beta u = (alpha x,alpha y)+(beta x,beta y) = (alphabeta x^2,alphabeta y^2),
também não coincidem. Falha (alpha+beta)u=alpha u+beta u.
Além disso, a condição 0cdot u=0V daria
0cdot(x,y)=(0,0)neq(1,1)=0V,
logo também falha.

Resposta

Válidos:

A1) Fecho da soma
A2) Comutatividade da soma
A3) Associatividade da soma
A4) Existência do neutro aditivo (1,1)
M1) Fecho da multiplicação escalar
M2) Associatividade de escalares (alphabeta)u=alpha(beta u)
M3) Identidade escalar 1cdot u = u
Violados:

A5) Existência de inverso aditivo
D1) alpha(u+v)=alpha u+alpha v
D2) (alpha+beta)u=alpha u+beta u
E) 0cdot u=0V

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