Seja a matriz B dada por:
B=[lll a & b & c d & e & f g & h & i ]
Sabemos que det(B)=7. Considere agora a matriz C obtida ao multiplicar a segunda linha de B por k=3 e trocar a primeira e terceira linhas.
Justifique seu cálculo utilizando propriedades dos determinantes.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = a & b & c d & e & f g & h & i
com det(B)=7. A matriz C é obtida de B ao multiplicar a segunda linha por k=3 e depois trocar a primeira e a terceira linhas. Para calcular det(C) vamos usar duas propriedades fundamentais de determinantes:
  1. Multiplicar uma linha por k multiplica o determinante por k.
  2. Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.

Passo 2

Seja D a matriz obtida ao multiplicar a segunda linha de B por 3. Pela propriedade de escala de linha,
det(D) = 3,det(B) = 3 times 7 = 21

Passo 3

Agora C resulta de D ao trocar a primeira e a terceira linhas. A troca de duas linhas muda o sinal do determinante, logo
det(C) = -,det(D) = -,21

Resposta

det(C) = -21

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