Calcule o trabalho ao se deslocar uma partícula no campo de força
\vec{F}(x, y, z)=(2 x, 2 z, 2 y)
ao longo da curva \sigma(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t, t) \operatorname{com} 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho de uma força ao longo de uma curva, ou seja, calcular a integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec r
para \vec{F}(x,y,z)=(2x,2z,2y) e a curva parametrizada por
\sigma(t)=(\cos t,\;\sin t,\;t),\quad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
Vamos precisar de \sigma'(t), avaliar \vec{F} em \sigma(t), formar o produto escalar e integrar em t.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização para obter o vetor deslocamento
\sigma'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).

Passo 3

Substituímos \sigma(t) em \vec{F}, obtendo
\vec{F}(\sigma(t))=\bigl(2\cos t,\;2\,t,\;2\sin t\bigr).

Passo 4

Formamos o produto escalar \vec{F}(\sigma(t))\cdot\sigma'(t):
(2\cos t)(-\sin t)+(2t)(\cos t)+(2\sin t)(1) =-2\sin t\cos t+2t\cos t+2\sin t.

Passo 5

Agora escrevemos a integral do trabalho em t:
W=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(-2\sin t\cos t+2t\cos t+2\sin t\bigr)\,dt.
Uma primitiva conveniente é
-\sin^{2}t+2t\sin t,
pois
\tfrac{d}{dt}(-\sin^{2}t)=-2\sin t\cos t e
\tfrac{d}{dt}(2t\sin t)=2t\cos t+2\sin t.

Passo 6

Avaliamo-la de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
W=\bigl[-\sin^{2}t+2t\sin t\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\bigl[ -1 +2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot1\bigr]-0 =\pi-1.

Resposta

\pi-1

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