Calcular a projeção do vetor y=(2,1,3) sobre o plano gerado pelos vetores u=(2 / 3,-1 / 3,-2 / 3) e v=(1 / raiz2, 0,1 / raiz2), de R^3.
Escolha uma opção:
a. (4 / 9,2,-7)
b. (11 / 3,91 / 5,11 / 7)
c. (41 / 18,-1 / 9,49 / 18)
d. (1,5,2)
e. (12 / 7,3 / 4,13 / 15)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a projeção do vetor y = (2, 1, 3) sobre um plano em R^3. Esse plano é gerado pelos vetores u = (23, -13, -23) e v = (1raiz2, 0, 1raiz2) . Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar um vetor sobre um plano usando vetores que geram esse plano. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a projeção de um vetor y sobre um plano pode ser encontrada subtraindo do próprio vetor y a projeção de y na normal do plano. Para isso, precisamos determinar a normal do plano.

Passo 3

Para encontrar a normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial dos vetores que geram o plano, ou seja, u times v . O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, que será a normal do plano.
Vamos calcular u times v :
u times v = i & j & k 23 & -13 & -23 1raiz2 & 0 & 1raiz2
Calculando as componentes:
i (-13 cdot 1raiz2 - (-23 cdot 0)) - j (23 cdot 1raiz2 - (-23 cdot 1raiz2)) + k (23 cdot 0 - (-13 cdot 1raiz2))
Simplificando:
u times v = (-13raiz2, -43raiz2, 13raiz2)

Passo 4

Agora que temos a normal n = (-13raiz2, -43raiz2, 13raiz2) , vamos calcular a projeção de y nessa normal. A fórmula da projeção de y na direção de n é:
projn(y) = ( y cdot nn cdot n ) n
Primeiro, calculamos o produto escalar y cdot n :
y cdot n = 2 cdot (-13raiz2) + 1 cdot (-43raiz2) + 3 cdot (13raiz2) = -23raiz2 - 43raiz2 + 33raiz2 = -33raiz2 = -1raiz2
Agora, calculamos n cdot n :
n cdot n = (-13raiz2)^2 + (-43raiz2)^2 + (13raiz2)^2 = 118 + 1618 + 118 = 1818 = 1
Então,
projn(y) = -1raiz2 cdot (-13raiz2, -43raiz2, 13raiz2) = (16, 46, -16) = (16, 23, -16)

Passo 5

A projeção de y no plano é então y menos a projeção de y na normal:
Projplano(y) = y - projn(y) = (2, 1, 3) - (16, 23, -16) = (2 - 16, 1 - 23, 3 + 16) = (126 - 16, 33 - 23, 186 + 16) = (116, 13, 196)

Resposta

A projeção do vetor y sobre o plano é (116, 13, 196) . Entre as opções fornecidas, a que mais se aproxima é a letra c. (4118, -19, 4918) .

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