Considere o sistema de equações lineares dado abaixo:
l 2 x 1+x 2+x 3=0 2 x 1+x 2-x 3=2 4 x 1+2 x 2-2 x 3=4
Resolva o sistema dado e determine sua solução geral

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O sistema é formado por três equações com três incógnitas x1 , x2 e x3 . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a eliminação de variáveis.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de forma mais clara:
2x1 + x2 + x3 = 0 2x1 + x2 - x3 = 2 4x1 + 2x2 - 2x3 = 4

Passo 3

Agora, vamos focar em eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar x1 das segunda e terceira equações usando a primeira equação.
Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda:
(2x1 + x2 - x3) - (2x1 + x2 + x3) &= 2 - 0 -2x3 &= 2 x3 &= -1

Passo 4

Agora que encontramos x3 = -1 , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar uma relação entre x1 e x2 :
2x1 + x2 + (-1) = 0 2x1 + x2 = 1

Passo 5

Observando a terceira equação do sistema original:
4x1 + 2x2 - 2x3 = 4
Substituindo x3 = -1 :
4x1 + 2x2 - 2(-1) = 4 4x1 + 2x2 + 2 = 4 4x1 + 2x2 = 2
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
2x1 + x2 = 1
Perceba que essa é a mesma equação que obtivemos após substituir x3 na primeira equação. Isso confirma que nossas equações são consistentes.

Passo 6

Agora, temos apenas uma equação com duas incógnitas:
2x1 + x2 = 1
Podemos resolver essa equação expressando uma das variáveis em termos da outra. Vamos escolher x1 como variável livre e chamar de t :
x1 = t
Substituindo na equação:
2t + x2 = 1 x2 = 1 - 2t

Passo 7

Agora, já temos todas as variáveis expressas em termos de t :
x1 = t x2 = 1 - 2t x3 = -1
Isso significa que t pode ser qualquer número real, e para cada valor de t , temos uma solução do sistema.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1 = t x2 = 1 - 2t x3 = -1
onde t é um número real qualquer.

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