Considere o sistema de equações lineares dado abaixo:
l 2 x 1+x 2+x 3=0 2 x 1+x 2-x 3=2 4 x 1+2 x 2-2 x 3=4
Qual é a interação geométrica da solução geral do sistema de equações

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que você me passou:
2x1 + x2 + x3 = 0 2x1 + x2 - x3 = 2 4x1 + 2x2 - 2x3 = 4
O que a gente quer aqui é descobrir qual é a interação geométrica da solução desse sistema. Ou seja, queremos saber se as soluções formam um ponto único, uma linha, um plano ou se não têm solução. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de sistemas lineares, como eliminação ou substituição, e entender como cada equação representa um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o sistema para facilitar a resolução. Observando as duas primeiras equações:
2x1 + x2 + x3 = 0 (1) 2x1 + x2 - x3 = 2 (2)
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar algumas variáveis:
(2) - (1): (2x1 + x2 - x3) - (2x1 + x2 + x3) = 2 - 0
Isso simplifica para:
-2x3 = 2 implies x3 = -1
Agora já sabemos que x3 = -1 .

Passo 3

Com x3 = -1 , podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar x1 e x2 :
2x1 + x2 + (-1) = 0 implies 2x1 + x2 = 1 (1a)
Agora, vamos ver a terceira equação do sistema original:
4x1 + 2x2 - 2x3 = 4
Substituindo x3 = -1 :
4x1 + 2x2 - 2(-1) = 4 implies 4x1 + 2x2 + 2 = 4 implies 4x1 + 2x2 = 2
Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 2:
2x1 + x2 = 1 (3)
Agora, comparemos a equação (1a) e a equação (3):
2x1 + x2 = 1 (1a) 2x1 + x2 = 1 (3)
Vemos que são a mesma equação, o que significa que as duas primeiras equações nos deram a mesma informação quando simplificadas.

Passo 4

Agora, temos basicamente duas informações:
  1. [x_3 = -1)
Podemos resolver em termos de :
Então, a solução geral do sistema é:
éâ
Isso significa que as soluções formam uma linha no espaço tridimensional, onde (t] pode variar livremente.

Resposta

A interação geométrica da solução geral do sistema é uma reta no espaço tridimensional, representando infinitas soluções alinhadas nessa direção.

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