Da série \sum a_{n} tal que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_{n}\right|}=r>1 \quad(r \in \mathbb{R} ou r=\infty). Mostre que a série é divergente.

Passo 1

O enunciado dá uma série \sum a_n e afirma que
\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_n\rvert}=r>1\quad\text{(ou \(r=\infty\))}.
Queremos mostrar que \sum a_n diverge. O conteúdo aqui é o teste da razão: se o limite da razão dos termos em valor absoluto é maior que 1, a série não pode convergir.

Passo 2

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_n\rvert}=r>1,
existe \varepsilon>0 tal que r-\varepsilon>1. Logo, pelo critério de limite, existe N de modo que para todo n\ge N vale
\frac{\lvert a_{n+1}\rvert}{\lvert a_n\rvert}>r-\varepsilon>1.

Passo 3

Chamemos \lambda=r-\varepsilon, onde \lambda>1. A desigualdade do passo anterior pode ser escrita como
\lvert a_{n+1}\rvert>\lambda\,\lvert a_n\rvert \quad\text{para todo }n\ge N.
Aplicando essa relação repetidamente a partir de n=N, obtemos por indução
\lvert a_{N+k}\rvert > \lambda^k\,\lvert a_N\rvert \quad\text{para todo }k\ge0.

Passo 4

Como \lambda>1, a sequência \lambda^k cresce sem limite e, em particular,
\lim_{k\to\infty}\lvert a_{N+k}\rvert \ge \lim_{k\to\infty}\lambda^k\,\lvert a_N\rvert = \infty.
Isso mostra que a_n não tende a zero.

Passo 5

Um teorema básico de séries diz que, se \sum a_n converge, então necessariamente a_n\to0. Aqui acabamos de ver que a_n não tende a zero. Logo não pode haver convergência da série.

Resposta

A série \sum a_n diverge.

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