Da série
tal que
ou
. Mostre que a série é divergente.
Passo 1
O enunciado dá uma série
e afirma que
Queremos mostrar que
diverge. O conteúdo aqui é o teste da razão: se o limite da razão dos termos em valor absoluto é maior que 1, a série não pode convergir.
Passo 2
Como
existe
tal que
. Logo, pelo critério de limite, existe
de modo que para todo
vale
Passo 3
Chamemos
, onde
. A desigualdade do passo anterior pode ser escrita como
Aplicando essa relação repetidamente a partir de
, obtemos por indução
Passo 4
Como
, a sequência
cresce sem limite e, em particular,
Isso mostra que
não tende a zero.
Passo 5
Um teorema básico de séries diz que, se
converge, então necessariamente
. Aqui acabamos de ver que
não tende a zero. Logo não pode haver convergência da série.
Resposta
A série
diverge.