Estude a convergência das seguintes séries:
  • \sum \frac{n}{3^{n}}
  • \sum \frac{1}{n 2^{n}}
  • \sum \frac{n!}{3^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude a convergência de três séries numéricas:
\displaystyle \sum \frac{n}{3^{n}}, \displaystyle \sum \frac{1}{n\,2^{n}} e \displaystyle \sum \frac{n!}{3^{n}}.
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão, que verifica o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
e diz que se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Analisando \displaystyle \sum \frac{n}{3^n}, tomamos a_n = \frac{n}{3^n}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}} = \frac{n+1}{3n}
e
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n} = \frac{1}{3} < 1.
Logo essa série converge absolutamente.

Passo 3

Para \displaystyle \sum \frac{1}{n\,2^n}, temos a_n = \frac{1}{n\,2^n}. Calculando
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{1}{n\,2^n}} = \frac{n}{2(n+1)}
e
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2(n+1)} = \frac{1}{2} < 1.
Portanto essa série também converge absolutamente.

Passo 4

Na série \displaystyle \sum \frac{n!}{3^n} definimos a_n = \frac{n!}{3^n}. Veja
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}}{\frac{n!}{3^n}} = \frac{n+1}{3}
e
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3} = +\infty > 1.
Isso mostra que os termos não vão a zero rápido o bastante e a série diverge.

Resposta

A primeira série converge absolutamente.
A segunda série converge absolutamente.
A terceira série diverge.

Exercícios relacionados