Calcule os seguintes limites, se existe:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{2}+4 x+3}{x^{2}-3 x-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^{2}+4x+3}{x^{2}-3x-4}. O conteúdo é limite de função racional no infinito, onde comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.

Passo 2

Para facilitar, dividimos numerador e denominador por x^{2}. Assim,
\frac{5x^{2}+4x+3}{x^{2}-3x-4} = \frac{5 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} - \frac{4}{x^{2}}}.

Passo 3

Quando x\to\infty, os termos \tfrac{4}{x}, \tfrac{3}{x^{2}}, \tfrac{3}{x} e \tfrac{4}{x^{2}} tendem a zero. Portanto, o limite vale
\frac{5 + 0 + 0}{1 - 0 - 0} = 5.

Resposta

5

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