[ 2,0 ] Calcular o raio de convergência das séries
an=n^n-1n! x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=1^inftyanx^n
com
an=n^,n-1n!
Estamos no tema de séries de potências e vamos usar o teste da raiz junto com a fórmula de Stirling para n!.

Passo 2

Pelo teste da raiz, o raio de convergência R é dado por
R=1limsupntoinftyraiz[n]|an| =1limntoinftyraiz[n]n^,n-1n!
Então precisamos achar
L=limntoinftyraiz[n]n^,n-1n! =limntoinftyn^n-1n(n!)^1/n

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Stirling em forma assintótica:
n!sim raiz2pi n,l(tfracner)^n
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(n!)^1/nsiml(raiz2pi nr)^1/n,ne longrightarrowne quando ntoinfty,
pois l(raiz2pi nr)^1/nto1.

Passo 4

Substituindo em L:
L =limntoinfty n^1-tfrac1ntfracne =e;limntoinftyn^-1/n =ecdot1 =e
Portanto limsupraiz[n]|an|=e.

Passo 5

Do teste da raiz segue
R=1e

Resposta

O raio de convergência da série é
R=1e

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