Sem calcular as raízes, determine o número máximo e mínimo de raízes reais positivas e negativas para o polinômio T(x)=x^{7}-2 x^{6}+3 x^{5}-4 x^{4}+5 x^{3}-6 x^{2}+7 x-8.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
T(x)=x^{7}-2x^{6}+3x^{5}-4x^{4}+5x^{3}-6x^{2}+7x-8
e pede, sem calcular as raízes, o número máximo e mínimo de raízes reais positivas e negativas. Vamos usar a regra de Descartes para variações de sinal.

Passo 2

Para as raízes positivas contamos as variações de sinal nos coeficientes de T(x). A sequência de sinais é
+,\,-,\,+,\,-,\,+,\,-,\,+,\,-
entre os termos de grau decrescente, gerando 7 variações de sinal.

Passo 3

Pela regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de variações de sinal ou a esse valor menos um múltiplo de 2. Assim as possibilidades são
7,\;5,\;3,\;1,
e o menor valor possível é 1.

Passo 4

Para as raízes negativas analisamos
T(-x) = -x^{7}-2x^{6}-3x^{5}-4x^{4}-5x^{3}-6x^{2}-7x-8,
que tem todos os coeficientes negativos, ou seja, zero variações de sinal.

Passo 5

Zero variações de sinal em T(-x) implica que não há raízes reais negativas. Portanto o número máximo e mínimo de raízes negativas é 0.

Resposta

Máximo de raízes reais positivas: 7.
Mínimo de raízes reais positivas: 1.
Máximo de raízes reais negativas: 0.
Mínimo de raízes reais negativas: 0.

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