Sem calcular as raízes, determine o número máximo e mínimo de raízes reais positivas e negativas para o polinômio
.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede, sem calcular as raízes, o número máximo e mínimo de raízes reais positivas e negativas. Vamos usar a regra de Descartes para variações de sinal.
Passo 2
Para as raízes positivas contamos as variações de sinal nos coeficientes de
. A sequência de sinais é
entre os termos de grau decrescente, gerando variações de sinal.
entre os termos de grau decrescente, gerando
Passo 3
Pela regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é igual ao número de variações de sinal ou a esse valor menos um múltiplo de
. Assim as possibilidades são
e o menor valor possível é
.
Passo 4
Para as raízes negativas analisamos
que tem todos os coeficientes negativos, ou seja, zero variações de sinal.
Passo 5
Zero variações de sinal em
implica que não há raízes reais negativas. Portanto o número máximo e mínimo de raízes negativas é
.
Resposta
Máximo de raízes reais positivas:
.
Mínimo de raízes reais positivas: .
Máximo de raízes reais negativas: .
Mínimo de raízes reais negativas: .
Mínimo de raízes reais positivas:
Máximo de raízes reais negativas:
Mínimo de raízes reais negativas: