Calcular as raízes quartas de -8+8 raiz3 i.

Passo 1

O enunciado pede encontrar todos os complexos w tais que w^4 = z, onde
z = -8 + 8raiz3,i
Para isso, vamos representar z em forma polar e usar a Fórmula de De Moivre, que em geral dá
wk = r^1/nl[cosl(theta + 2pi knr) + isinl(theta + 2pi knr)r], k = 0,1,dots,n-1

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento de :

Passo 3

Logo,
z = 16l[cosl(2pi3r) + isinl(2pi3r)r]

Passo 4

Aplicando a Fórmula de De Moivre para n=4:
wk = 16^1/4l[cosl(2pi3 + 2pi k4r) + isinl(2pi3 + 2pi k4r)r] = 2l[cosl(pi6 + pi k2r) + isinl(pi6 + pi k2r)r],
com k=0,1,2,3.

Passo 5

Para cada k determinamos o valor em forma retangular:
Para k=0, ângulo phi0 = pi6, então
w0 = 2l(raiz32 + i12r) = raiz3 + i
Para k=1, ângulo phi1 = pi6 + pi2 = 2pi3, então
w1 = 2l(-12 + iraiz32r) = -1 + iraiz3
Para k=2, ângulo phi2 = pi6 + pi = 7pi6, então
w2 = 2l(-raiz32 - i12r) = -raiz3 - i
Para k=3, ângulo phi3 = pi6 + 3pi2 = 5pi3, então
w3 = 2l(12 - iraiz32r) = 1 - iraiz3

Resposta

raiz3 + i,; -1 + iraiz3,; -raiz3 - i,; 1 - iraiz3

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