Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital quando possível. O exercício pede para calcular o limite de
multiplicado por
quando
se aproxima de 0 pela direita (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites e quando aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para ficar mais claro:
Aqui,
é a função exponencial com o expoente
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento das duas partes da expressão quando
se aproxima de 0 pela direita:
- Quando
, tende a . - Assim,
tende a , que é .
Portanto, temos o tipo indeterminado
.
Passo 4
Para resolver esse tipo de indeterminação, podemos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a Regra de L’Hôpital. Vamos reescrever o limite como:
Agora, temos a forma
, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Numerador:Derivada de
:
-
Denominador:Derivada de
:
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Simplificando os sinais negativos e os
, ficamos com
.
Passo 7
Agora, vamos avaliar o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita:
Resposta
O limite é
.