Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
lim x 0^+ x e^1x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cálculo de limites, especificamente usando a Regra de L’Hôpital quando possível. O exercício pede para calcular o limite de x multiplicado por e^1x quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+ ). Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites e quando aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para ficar mais claro:
limx 0^+ x cdot e^1x
Aqui, e^1x é a função exponencial com o expoente 1x .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento das duas partes da expressão quando x se aproxima de 0 pela direita:
  1. Quando x 0^+ , 1x tende a +infty .
  2. Assim, e^1x tende a e^+infty , que é +infty .
Portanto, temos o tipo indeterminado 0 times infty .

Passo 4

Para resolver esse tipo de indeterminação, podemos reescrever a expressão de uma forma que nos permita aplicar a Regra de L’Hôpital. Vamos reescrever o limite como:
limx 0^+ e^1x1x
Agora, temos a forma inftyinfty , que é adequada para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma 00 ou inftyinfty , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Numerador: f(x) = e^1x
    Derivada de f(x) :
f'(x) = e^1x cdot ( -1x^2 ) = -e^1xx^2
  • Denominador: g(x) = 1x
    Derivada de g(x) :
g'(x) = -1x^2

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limx 0^+ f'(x)g'(x) = limx 0^+ -e^1xx^2 -1x^2 = limx 0^+ e^1x
Simplificando os sinais negativos e os x^2 , ficamos com e^1x .

Passo 7

Agora, vamos avaliar o limite de e^1x quando x se aproxima de 0 pela direita:
limx 0^+ e^1x = e^+infty = +infty

Resposta

O limite é +infty .

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